Giải Toán 12 trang 42 Tập 2 Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải bài tập Toán 12 trang 42 Tập 2 trong Bài 1: Phương trình mặt phẳng Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 42.

Giải Toán 12 trang 42 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 7 trang 42 Toán 12 Tập 2:

a) Tính chiều cao của hình chóp O.MNP với tọa độ các đỉnh là O(0; 0; 0), M(2; 1; 2), N(3; 3; 3), P(4; 5; 6).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (R): 8x + 6y + 70 = 0 và (S): 16x + 12y – 2 = 0.

Lời giải:

Mặt phẳng (MNP) đi qua M(2; 1; 2), N(3; 3; 3), P(4; 5; 6) nên có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{MN}=\left(1;2;1\right),\overrightarrow{MP}=\left(2;4;4\right)$

Do đó mặt phẳng (MNP) có một vectơ pháp tuyến là

$\overrightarrow{n}=\frac{1}{2}\left[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}\right]=\frac{1}{2}\left(2.4-1.4;1.2-1.4;1.4-2.2\right)=\left(2;-1;0\right)$

Mặt phẳng (MNP) đi qua M(2; 1; 2) và nhận $\overrightarrow{n}=\left(2;-1;0\right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là 2(x – 2) – (y – 1) = 0 ⇔ 2x – y – 3 = 0.

Chiều cao của hình chóp chính là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (MNP).

Ta có $d\left(O,\left(MNP\right)\right)=\frac{\left|-3\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{3}{\sqrt{5}}$.

b) Lấy điểm A(1; −13; 0) ∈ (R).

Vì (R) // (S) nên $d\left(A,\left(S\right)\right)=d\left(\left(R\right),\left(S\right)\right)=\frac{\left|16+12.\left(-13\right)-2\right|}{\sqrt{{16}^2+{12}^2}}=\frac{\left|-142\right|}{20}=\frac{71}{10}$.

Vận dụng 6 trang 42 Toán 12 Tập 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng $a\sqrt{2}$, chiều cao bằng 2a và O là tâm của đáy. Bằng cách thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz như Hình 18, tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).

Lời giải:

Vì ABCD là hình vuông cạnh $a\sqrt{2}$ và O là tâm của hình vuông nên ta có:

OA=OB=OC=OD=a.

Khi đó ta có O(0; 0; 0), A(−a; 0; 0), B(0; a; 0), S(0; 0; 2a), C(a; 0; 0).

Mặt phẳng (SAB) đi qua A(−a; 0; 0), B(0; a; 0), S(0; 0; 2a) có phương trình theo đoạn chắn là:

$\frac{x}{-a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{2a}=1$ hay −2x + 2y + z = 2a hay −2x + 2y + z – 2a = 0.

Ta có $d\left(C,\left(SAB\right)\right)=\frac{\left|-2a-2a\right|}{\sqrt{{\left(-2\right)}^2+2^2+1^2}}=\frac{4a}{3}$.

Vậy $d\left(C,\left(SAB\right)\right)=\frac{4}{3}a$

Bài 1 trang 42 Toán 12 Tập 2: Viết phương trình của mặt phẳng:

a) Đi qua điểm A(2; 0; 0) và nhận $\overrightarrow{n}=\left(2;1;-1\right)$ làm vectơ pháp tuyến;

b) Đi qua điểm B(1; 2; 3) và song song với giá của mỗi vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;2;3\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(-2;0;1\right)$;

c) Đi qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và C(0; 0; 4).

Lời giải:

a) Mặt phẳng qua điểm A(2; 0; 0) và nhận $\overrightarrow{n}=\left(2;1;-1\right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 2(x – 2) + y – z = 0 ⇔ 2x + y – z – 4 = 0.

b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]=\left(2.1-0.3;3.\left(-2\right)-1.1;1.0+2.2\right)=\left(2;-7;4\right)$.

Mặt phẳng đi qua điểm B(1; 2; 3) nhận $\overrightarrow{n}=\left(2;-7;4\right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: 2(x – 1) – 7(y – 2) + 4(z – 3) = 0 ⇔ 2x – 7y + 4z = 0.

c) Mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và C(0; 0; 4) có phương trình theo đoạn chắn là: $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{4}=1$ ⇔ 4x + 2y + z – 4 = 0.

Bài 2 trang 42 Toán 12 Tập 2:

a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz).

b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm A(−1; 9; 8) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ trên.

Lời giải:

a) Mặt phẳng (Oxy) nhận $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là z = 0.

Mặt phẳng (Oyz) nhận $\overrightarrow{i}=\left(1;0;0\right)$  làm vectơ pháp tuyến có phương trình là x = 0.

Mặt phẳng (Oxz) nhận $\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là y = 0.

b) Mặt phẳng đi qua điểm A(−1; 9; 8) và song song với mặt phẳng (Oxy) nhận $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là z – 8 = 0.

Mặt phẳng đi qua điểm A(−1; 9; 8) và song song với mặt phẳng (Oyz) nhận $\overrightarrow{i}=\left(1;0;0\right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là x + 1 = 0.

Mặt phẳng đi qua điểm A(−1; 9; 8) và song song với mặt phẳng (Oxz) nhận $\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là y – 9 = 0.

Bài 3 trang 42 Toán 12 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(4; 0; 2), B(0; 5; 1), C(4; −1; 3), D(3; −1; 5).

a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ABC) và (ABD).

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua cạnh BC và song song với cạnh AD.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-4;5;-1\right),\overrightarrow{AC}=\left(0;-1;1\right),\overrightarrow{AD}=\left(-1;-1;3\right)$, $\overrightarrow{BC}=\left(4;-6;2\right)$.

a) Mặt phẳng (ABC) có $\overrightarrow{AB}=\left(-4;5;-1\right),\overrightarrow{AC}=\left(0;-1;1\right)$ là cặp vectơ chỉ phương.

Do đó mặt phẳng (ABC) nhận

$\overrightarrow{n}=\frac{1}{4}\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\frac{1}{4}\left(5.1-1.1;-1.0+1.4;\left(-4\right).\left(-1\right)-0.5\right)=\left(1;1;1\right)$.

Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(4; 0; 2) và $\overrightarrow{n}=\left(1;1;1\right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là (x – 4) + y + (z – 2) = 0 ⇔ x + y + z – 6 = 0.

Mặt phẳng (ABD) nhận $\overrightarrow{AB}=\left(-4;5;-1\right)$, $\overrightarrow{AD}=\left(-1;-1;3\right)$ làm cặp vectơ chỉ phương.

Do đó mặt phẳng (ABD) nhận

$\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right]=\left(5.3-1.1;\left(-1\right).\left(-1\right)+3.4;\left(-4\right).\left(-1\right)+1.5\right)=\left(14;13;9\right)$.

Mặt phẳng (ABD) đi qua điểm A(4; 0; 2) và $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(14;13;9\right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là 14(x – 4) + 13y + 9(z – 2) = 0 ⇔ 14x + 13y + 9z – 74 = 0.

b) Mặt phẳng (P) đi qua cạnh BC và song song với cạnh AD nhận $\overrightarrow{BC}=\left(4;-6;2\right)$, $\overrightarrow{AD}=\left(-1;-1;3\right)$ làm cặp vectơ chỉ phương.

Do đó mặt phẳng (P) nhận

$\overrightarrow{n_P}=\frac{-1}{2}\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AD}\right]=\frac{-1}{2}\left(-6.3+1.2;2.\left(-1\right)-3.4;4.\left(-1\right)-1.6\right)=\left(8;7;5\right)$.

Mặt phẳng (P) đi qua điểm B(0; 5; 1) và nhận $\overrightarrow{n_P}=\left(8;7;5\right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là 8x + 7(y – 5) + 5(z – 1) = 0 ⇔ 8x + 7y + 5z – 40 = 0.

Bài 4 trang 42 Toán 12 Tập 2: Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua C(1; −5; 0) và song song với mặt phẳng (P): 3x – 5y + 4z – 2024 = 0.

Lời giải:

Có $\overrightarrow{n_P}=\left(3;-5;4\right)$.

Vì (Q) // (P) nên mặt phẳng (Q) nhận $\overrightarrow{n_P}=\left(3;-5;4\right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm C(1; −5; 0) và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=\left(3;-5;4\right)$ có phương trình là 3(x – 1) – 5(y + 5) + 4z = 0 ⇔ 3x – 5y + 4z – 28 = 0.

Bài 5 trang 42 Toán 12 Tập 2: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (β): 2x – y + z – 7 = 0.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(4;2;2\right)$, $\overrightarrow{n_{\beta }}=\left(2;-1;1\right)$.

Mặt phẳng (α) nhận $\overrightarrow{AB}=\left(4;2;2\right)$, $\overrightarrow{n_{\beta }}=\left(2;-1;1\right)$ làm cặp vectơ chỉ phương.

Do đó mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến là

$\overrightarrow{n_{\alpha }}=\frac{1}{4}\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{\beta }}\right]=\frac{1}{4}\left(2.1+1.2;2.2-1.4;4.\left(-1\right)-2.2\right)=\left(1;0;-2\right)$

Mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; 0; 1) và nhận $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\left(1;0;-2\right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là x – 1 – 2(z – 1) = 0 ⇔ x – 2z + 1 = 0.

Bài 6 trang 42 Toán 12 Tập 2: Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A(1; 2; −1) và vuông góc với hai mặt phẳng (P): 4x – 2y + 6z – 11 = 0, (Q): 2x + 2y + 2z – 7 = 0.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{n_P}=\left(4;-2;6\right),\overrightarrow{n_Q}=\left(2;2;2\right)$.

Có $\left[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q}\right]=\left(-2.2-2.6;6.2-2.4;4.2+2.2\right)=\left(-16;4;12\right)$.

Mặt phẳng (R) đi qua điểm A(1; 2; −1) và nhận $\overrightarrow{n}=\frac{1}{4}\left[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q}\right]=\left(-4;1;3\right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là:

 −4(x – 1) + (y – 2) + 3(z + 1) = 0 ⇔ 4x – y – 3z – 5 = 0.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng hay khác:

• Giải Toán 12 trang 32
• Giải Toán 12 trang 33
• Giải Toán 12 trang 34
• Giải Toán 12 trang 36
• Giải Toán 12 trang 38
• Giải Toán 12 trang 40
• Giải Toán 12 trang 43