Giải Toán 12 trang 50 Tập 1 Chân trời sáng tạo

❮ Bài trước Bài sau ❯

Với Giải Toán 12 trang 50 Tập 1 trong Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian Toán 12 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 50.

Giải Toán 12 trang 50 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 8 trang 50 Toán 12 Tập 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1.

a) Tính các tích vô hướng: $\vec{A B} . \vec{A^{'} C^{'}}$ , $\vec{A B} . \vec{C C^{'}}$ .

b) Tính góc $(\vec{A C}, \vec{A C^{'}})$ (kết quả làm tròn đến phút).

Lời giải:

Thực hành 8 trang 50 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

a) Vì ABB'A' là hình vuông nên $\vec{A B} = \vec{A^{'} B^{'}}$ .

Do đó $(\vec{A B}, \vec{A^{'} C^{'}}) = (\vec{A^{'} B^{'}}, \vec{A^{'} C^{'}}) = \hat{B^{'} A^{'} C^{'}} = 45 °$ (do A'B'C'D' là hình vuông nên A'C' là phân giác của góc $\hat{D^{'} A^{'} B^{'}}$ ).

Vì A'B'C'D' là hình vuông cạnh bằng 1 nên $A^{'} C^{'} = \sqrt{2}$ .

Ta có $\vec{A B} . \vec{A^{'} C^{'}} = |\vec{A B}| . |\vec{A^{'} C^{'}}| . \cos (\vec{A B}, \vec{A^{'} C^{'}}) = 1. \sqrt{2} . \cos 45 ° = 1.$

Vì ACC'A' là hình bình hành nên $\vec{C C^{'}} = \vec{A A^{'}}$ .

Do đó $(\vec{A B}, \vec{C C^{'}}) = (\vec{A B}, \vec{A A^{'}}) = \hat{B A A^{'}} = 90 °$ .

Do đó $\vec{A B} ⊥ \vec{C C^{'}}$ . Suy ra $\vec{A B} . \vec{C C^{'}} = 0$ .

b) $(\vec{A C}, \vec{A C^{'}}) = \hat{C A C^{'}}$ .

Ta có AC' là đường chéo của hình lập phương cạnh bằng 1 nên $A C^{'} = \sqrt{3}$ .

AC là đường chéo của hình vuông ABCD cạnh bằng 1 nên $A C = \sqrt{2}$ .

Xét DACC' có $\cos \hat{C A C^{'}} = \frac{A C^{2} + A {C^{'}}^{2} - C {C^{'}}^{2}}{2. A C . A C^{'}} = \frac{2 + 3 - 1}{2. \sqrt{2} . \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ $\Rightarrow \hat{C A C^{'}} \approx 35 ° 16'$

Vậy $(\vec{A C}, \vec{A C^{'}}) \approx 35 ° 16'$ .

Vận dụng 4 trang 50 Toán 12 Tập 1: Một em nhỏ cân nặng m = 25 kg trượt trên cầu trượt dài 3,5 m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là 30° (Hình 27).

a) Tính độ lớn của trọng lực $\vec{P} = m \vec{g}$ tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do $\vec{g}$ có độ lớn là g = 9,8 m/s².

b) Cho biết công A (J) sinh bởi một lực $\vec{F}$ có độ dịch chuyển $\vec{d}$ được tính bởi công thức $A = \vec{F} . \vec{d}$ . Hãy tính công sinh bởi trọng lực $\vec{P}$ khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt.

Vận dụng 4 trang 50 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Lời giải:

a) Ta có $|\vec{P}| = m |\vec{g}| = 25.9, 8 = 245$ N.

Vận dụng 4 trang 50 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Theo đề ta có $A = \vec{P} . \vec{d}$ , $(\vec{P}, \vec{d}) = 60 °$

$A = \vec{P} . \vec{d}$ $= |\vec{P}| . |\vec{d}| . \cos (\vec{P}, \vec{d}) = 245.3, 5. \cos 60 ° \approx 428, 75$ J.

Bài 1 trang 50 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:

a) $\vec{A B} + \vec{B^{'} C^{'}} + \vec{D D^{'}} = \vec{A C^{'}}$ ;

b) $\vec{D B^{'}} + \vec{D^{'} D} + \vec{B D^{'}} = \vec{B B^{'}}$ ;

c) $\vec{A C} + \vec{B A^{'}} + \vec{D B} + \vec{C^{'} D} = \vec{0}$ .

Lời giải:

Bài 1 trang 50 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

a) $\vec{A B} + \vec{B^{'} C^{'}} + \vec{D D^{'}} = \vec{A C^{'}}$

Do ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các mặt của nó là hình bình hành.

Khi đó $\vec{D D^{'}} = \vec{A A^{'}}$ ; $\vec{B^{'} C^{'}} = \vec{A D} (= \vec{B C})$ .

Do đó $\vec{A B} + \vec{B^{'} C^{'}} + \vec{D D^{'}} = \vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C^{'}}$ (theo quy tắc hình hộp).

b) $\vec{D B^{'}} + \vec{D^{'} D} + \vec{B D^{'}} = \vec{B B^{'}}$

Có $\vec{D B^{'}} + \vec{D^{'} D} + \vec{B D^{'}}$

$= \vec{D B} + \vec{B B^{'}} + \vec{D^{'} B} + \vec{B D} + \vec{B D^{'}}$

$= (\vec{D B} + \vec{B D}) + \vec{B B^{'}} + (\vec{D^{'} B} + \vec{B D^{'}})$

$= \vec{B B'}$

Vì $\vec{D B} + \vec{B D} = \vec{0}; \vec{D^{'} B} + \vec{B D^{'}} = \vec{0}$ .

c) $\vec{A C} + \vec{B A^{'}} + \vec{D B} + \vec{C^{'} D} = \vec{0}$

Vì AD // B'C' và AD = B'C' (do cùng song song và bằng BC).

Do đó ADC'B' là hình bình hành.

Suy ra $\vec{A B^{'}}$ và $\vec{C^{'} D}$ là hai vectơ đối nhau. Do đó $\vec{A B^{'}} + \vec{C^{'} D} = \vec{0}$ .

Tương tự DA'B'C là hình bình hành.

Suy ra $\vec{B^{'} C}$ và $\vec{D A^{'}}$ là hai vectơ đối nhau. Do đó $\vec{B^{'} C} + \vec{D A^{'}} = \vec{0}$ .

$\vec{A C} + \vec{B A^{'}} + \vec{D B} + \vec{C^{'} D}$

$= \vec{A B^{'}} + \vec{B^{'} C} + (\vec{D B} + \vec{B A^{'}}) + \vec{C^{'} D}$

$= \vec{A B^{'}} + \vec{B^{'} C} + \vec{D A^{'}} + \vec{C^{'} D}$

$= (\vec{A B^{'}} + \vec{C^{'} D}) + (\vec{B^{'} C} + \vec{D A^{'}}) = \vec{0}$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán trong không gian hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯