Giải Toán 12 trang 31 Tập 2 Kết nối tri thức

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải bài tập Toán 12 trang 31 Tập 2 trong Bài 14: Phương trình mặt phẳng Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 31.

Giải Toán 12 trang 31 Tập 2 Kết nối tri thức

Luyện tập 2 trang 31 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow{u}=\left(2;3;1\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(4;6;2\right)$. Tính $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]$

Lời giải:

Ta có $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 6& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 6\end{array}\right|\right)=\left(0;0;0\right)$

HĐ3 trang 31 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P).

a) Vectơ $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]$ có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ hay không?

b) Mặt phẳng (P) có nhận $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]$ làm một vectơ pháp tuyến hay không?

Lời giải:

a) Vectơ $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]$ có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$.

b) Hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P) mà $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]$ có giá vuông góc với cả hai giá của $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ nên giá của vectơ $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]$ vuông góc với mặt phẳng (P). Suy ra mặt phẳng (P) nhận vectơ $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]$ làm một vectơ pháp tuyến.

Luyện tập 3 trang 31 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng A(1; −2; 1), B(−2; 1; 0), C(−2; 3; 2). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-3;3;-1\right)$ và $\overrightarrow{AC}=\left(-3;5;1\right)$ là các vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (ABC) nhận vectơ $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}3& -1\\ 5& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-1& -3\\ 1& -3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-3& 3\\ -3& 5\end{array}\right|\right)=\left(8;6;-6\right)$

Vận dụng 1 trang 31 Toán 12 Tập 2: Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P một lực $\overrightarrow{F}$ để vặn con ốc ở vị trí O (H.5.6) thì moment lực $\overrightarrow{M}$ được tính bởi công thức $\overrightarrow{M}=\left[\overrightarrow{OP},\overrightarrow{F}\right]$

a) Cho $\overrightarrow{OP}=\left(x;y;z\right),\overrightarrow{F}=\left(a;b;c\right)$. Tính $\overrightarrow{M}$.

b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động $\overrightarrow{F}$ trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P' sao cho $\overrightarrow{O{P}^{\text{'}}}=2\overrightarrow{OP}$ thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{M}=\left[\overrightarrow{OP},\overrightarrow{F}\right]$$=\left(\left|\begin{array}{cc}y& z\\ b& c\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}z& x\\ c& a\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}x& y\\ a& b\end{array}\right|\right)$$=\left(yc-bz;za-cx;bx-ay\right)$

b) Vì $\overrightarrow{O{P}^{\text{'}}}=2\overrightarrow{OP}$ nên $2\overrightarrow{OP}=\left(2x;2y;2z\right)$

Khi đó $\overrightarrow{M^{\text{'}}}=\left[\overrightarrow{O{P}^{\text{'}}},\overrightarrow{F}\right]$$=\left(\left|\begin{array}{cc}2y& 2z\\ b& c\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2z& 2x\\ c& a\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2x& 2y\\ a& b\end{array}\right|\right)$

$=\left(2yc-b2z;2za-2cx;2bx-2ay\right)$

Suy ra $\overrightarrow{M^{\text{'}}}=2\overrightarrow{M}$.

Vậy giữ nguyên lực tác động $\overrightarrow{F}$ trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P' sao cho $\overrightarrow{O{P}^{\text{'}}}=2\overrightarrow{OP}$ thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi.

Kết luận: Từ kết quả trên, ta có thể rút ra rằng để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc, ta nên tăng khoảng cách từ điểm tác dụng lực đến trục quay (điểm O).

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng hay khác:

• Giải Toán 12 trang 29
• Giải Toán 12 trang 30
• Giải Toán 12 trang 32
• Giải Toán 12 trang 33
• Giải Toán 12 trang 34
• Giải Toán 12 trang 35
• Giải Toán 12 trang 36
• Giải Toán 12 trang 37
• Giải Toán 12 trang 39