Giải Toán 12 trang 35 Tập 2 Kết nối tri thức

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải bài tập Toán 12 trang 35 Tập 2 trong Bài 14: Phương trình mặt phẳng Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 35.

Giải Toán 12 trang 35 Tập 2 Kết nối tri thức

Luyện tập 8 trang 35 Toán 12 Tập 2: (H.5.8) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) không đi qua gốc tọa độ và cắt ba trục Ox, Oy, Oz tương ứng tại các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (a, b, c ≠ 0).

Chứng minh rằng mặt phẳng (α) có phương trình: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

Lời giải:

Mặt phẳng (α) nhận $\overrightarrow{AB}=\left(-a;b;0\right)$ và $\overrightarrow{AC}=\left(-a;0;c\right)$ làm một cặp vectơ chỉ phương. Do đó mặt phẳng (α) nhận $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}b& 0\\ 0& c\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}0& -a\\ c& -a\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-a& b\\ -a& 0\end{array}\right|\right)$$=\left(bc;ca;ba\right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Khi đó phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(a; 0; 0) và nhận $\overrightarrow{n}=\left(bc;ca;ba\right)$ làm vectơ pháp tuyến có dạng: bc(x – a) + cay + baz = 0 ⇔ bcx + cay + baz = abc$\iff \frac{bcx}{abc}+\frac{cay}{abc}+\frac{baz}{abc}=1$$\iff \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

Vận dụng 2 trang 35 Toán 12 Tập 2: Trong tình huống mở đầu, hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.

a) Xác định tọa độ của vị trí M₁, M₂, M₃ của vật tương ứng với các thời điểm t = 0, $t=\frac{\pi }{2}$, t = π.

b) Chứng minh rằng M₁, M₂, M₃ không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng (M₁M₂M₃).

c) Vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost) có luôn thuộc mặt phẳng (M₁M₂M₃) hay không?

Lời giải:

a) Thời điểm t = 0, vật ở vị trí M₁(1; 1; 1).

Thời điểm $t=\frac{\pi }{2}$, vật ở vị trí M₂(−1; 1; 0).

Thời điểm t = π, vật ở vị trí M₃(−1; −1; −1).

b) Có $\overrightarrow{M_1{M}_2}=\left(-2;0;-1\right)$ và $\overrightarrow{M_1{M}_3}=\left(-2;-2;-2\right)$ không cùng phương nên ba điểm M₁, M₂, M₃ không thẳng hàng.

Mặt phẳng (M₁M₂M₃) có $\overrightarrow{M_1{M}_2}=\left(-2;0;-1\right)$ và $\overrightarrow{M_1{M}_3}=\left(-2;-2;-2\right)$ là cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{M_1{M}_2},\overrightarrow{M_1{M}_3}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}0& -1\\ -2& -2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-1& -2\\ -2& -2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-2& 0\\ -2& -2\end{array}\right|\right)=\left(-2;-2;4\right)$

Mặt phẳng (M₁M₂M₃) đi qua M₁(1; 1; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(-2;-2;4\right)$ có phương trình là: −2(x – 1) – 2(y – 1) + 4(z – 1) = 0 hay 2x + 2y – 4z = 0.

c) Ta có 2(cost – sint) + 2(cost + sint) – 4 cost = 0 nên vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost) luôn thuộc mặt phẳng (M₁M₂M₃).

Do đó vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost) luôn thuộc mặt phẳng 2x + 2y – 4z = 0.

HĐ8 trang 35 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: (α): Ax + By + Cz + D = 0, (β): A'x + B'y + C'z + D' = 0, với hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right),\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(A^{\text{'}};B^{\text{'}};C^{\text{'}}\right)$ tương ứng.

a) Góc giữa hai mặt phẳng (α), (β) và góc giữa hai giá của $\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\text{'}}}$ có mối quan hệ gì?

b) Hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến tương ứng $\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\text{'}}}$ có mối quan hệ gì?

Lời giải:

a) Vì $\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\text{'}}}$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) và (β) nên giá của $\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\text{'}}}$ lần lượt vuông góc với mặt phẳng (α) và (β).

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (α), (β) bằng góc giữa hai giá của $\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\text{'}}}$

b) Hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến tương ứng $\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\text{'}}}$ vuông góc với nhau.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng hay khác:

• Giải Toán 12 trang 29
• Giải Toán 12 trang 30
• Giải Toán 12 trang 31
• Giải Toán 12 trang 32
• Giải Toán 12 trang 33
• Giải Toán 12 trang 34
• Giải Toán 12 trang 36
• Giải Toán 12 trang 37
• Giải Toán 12 trang 39