Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 1 Kết nối tri thức

---

Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 1: Đa thức sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết cùng các bài tập có lời giải sẽ giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 8 Chương 1.

Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 1 Kết nối tri thức

Lý thuyết tổng hợp Toán 8 Chương 1

1. Đơn thức và đơn thức thu gọn

• Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một biến, hoặc có dạng tích của những số và biến.

• Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm một số, hoặc có dạng tích của một số với những biến, mỗi biến chỉ xuất hiện một lần và đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương.

• Đơn thức chưa là đơn thức thu gọn có thể thu gọn bằng cách áp dụng các tính chất của phép nhân và phép nâng lên lũy thừa.

• Tổng số mũ của các biến trong một đơn thức thu gọn với hệ số khác 0 gọi là bậc của đơn thức đó.

• Trong một đơn thức thu gọn, phần số còn gọi là hệ số, phần còn lại gọi là phần biến. Khi viết một đơn thức thu gọn, ta thường viết hệ số trước, phần biến sau; các biến viết theo thứ tự trong bảng chữ cái.

Chú ý:

• Với các đơn thức có hệ số là + 1 hay – 1, ta không viết số 1.

Chẳng hạn, đơn thức xy có hệ số là 1; đơn thức – x² có hệ số là – 1.

• Mỗi số khác 0 là một đơn thức thu gọn bậc 0.

• Số 0 cũng được coi là một đơn thức. Nó không có bậc.

2. Đơn thức đồng dạng

• Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức với hệ số khác 0 và có phần biến giống nhau.

• Nhận xét:

- Hai đơn thức đồng dạng thì có cùng bậc.

- Hai số khác 0 cũng được coi là hai đơn thức đồng dạng.

• Muốn cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

3. Khái niệm đa thức

• Đa thức là tổng của những đơn thức; mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

Chú ý: Mỗi đơn thức cũng được coi là một đa thức.

Chẳng hạn, các đơn thức 3; x²; 2xy cũng được coi là đa thức.

4. Đa thức thu gọn. Cộng và trừ hai đa thức

• Đa thức thu gọn là đa thức không có hai hạng tử nào đồng dạng.

• Với các đa thức chưa thu gọn, ta có thể thu gọn chúng bằng cách:

– Đổi chỗ và nhóm các hạng tử đồng dạng.

– Cộng các hạng tử đồng dạng trong mỗi nhóm.

Chú ý:

• Ta thường viết một đa thức dưới dạng thu gọn (nếu không có yêu cầu gì khác).

• Bậc của một đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó. Một đa thức thu gọn có thể có nhiều hạng tử cùng có bậc cao nhất.

• Một số khác 0 tùy ý được coi là một đa thức bậc 0.

Chẳng hạn, 3 là đa thức bậc 0.

• Số 0 cũng là một đa thức, gọi là đa thức không. Nó không có bậc xác định.

•Muốn cộng (hay trừ) hai đa thức, ta nối hai đa thức đã cho bởi dấu “+” (hay dấu “–”) rồi bỏ dấu ngoặc (nếu có) và thu gọn đa thức nhận được.

• Phép cộng đa thức cũng có các tính chất giao hoán và kết hợp tương tự như phép cộng các số.

• Với A, B, C là những đa thức tùy ý, ta có:

A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C).

Nếu A – B = C thì A = B + C; ngược lại, nếu A = B + C thì A – B = C.

5. Nhân đơn thức với đa thức

•Muốn nhân hai đơn thức, ta nối hai đơn thức với nhau bởi dấu nhân rồi bỏ dấu ngoặc (nếu có) và thu gọn đơn thức nhận được.

•Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Chú ý: Tích của một đơn thức với một đa thức cũng là một đa thức.

6. Nhân đa thức với đa thức

• Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau.

Chú ý:

• Tích của hai đa thức cũng là một đa thức.

• Phép nhân đa thức cũng có tính chất tương tự phép nhân các số như:

A.B = B.A (giao hoán)

(A.B).C = A.(B.C) (kết hợp)

A.(B + C) = A.B + A.C (phân phối đối với phép cộng).

• Nếu A, B, C là những đa thức tùy ý thì A.B.C = (A.B).C = A.(B.C).

7. Chia đơn thức cho đơn thức

• Đơn thức A chia hết cho đơn thức B (B ≠ 0) khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.

• Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp chia hết), ta làm như sau:

+ Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B;

+ Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B;

+ Nhân các kết quả tìm được với nhau.

8. Chia đa thức cho đơn thức

• Đa thức A chia hết cho đơn thức B nếu mọi hạng tử của A đều chia hết cho B.

• Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp chia hết), ta chia từng hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

Bài tập tổng hợp Toán 8 Chương 1

Bài 1. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức?

–2y; (1 + $\sqrt{5}$)xy; x² $\frac{1}{y}$; 0; 3$\sqrt{x}$ ; $\frac{1}{2}$x³y²; (y – 1)x².

Hướng dẫn giải

–2y là đơn thức vì là tích của số và biến.

(1 + $\sqrt{5}$)xy là đơn thức vì là tích của số với các biến.

x² $\frac{1}{y}$ không là đơn thức vì có phép chia cho biến y.

0 là đơn thức.

3 $\sqrt{x}$ không là đơn thức vì có căn bậc hai của biến.

$\frac{1}{2}$x³y² là đơn thức vì lũy thừa của biến cũng là tích của các biến.

(y – 1)x² không là đơn thức vì có phép trừ của biến.

Bài 2. Cho các đơn thức.

A = 5x(–2)x²y$\frac{1}{10}$y; B = 2$\sqrt{3}$x²yz; C = $-\frac{1}{2}$xy²(1 + 2.1,5)x²z; D = (2023 + $\sqrt{3}$)x.

a) Liệt kê các đơn thức thu gọn trong các đơn thức trên và thu gọn các đơn thức còn lại.

b) Xác định hệ số, phần biến và bậc của mỗi đa thức trên.

Hướng dẫn giải

a) Các đơn thức thu gọn là: B = 2$\sqrt{3}$x²yz và D = (2023 + $\sqrt{3}$)x.

Thu gọn đa thức A và C ta được:

A = 5x(–2)x²y $\frac{1}{10}$y = 5. (–2). $\frac{1}{10}$.(x.x²).(y.y) = – x³y²

C = $-\frac{1}{2}$xy²(1 + 2.1,5)x²z = $-\frac{1}{2}$(1 + 2.1,5).(x.x²).y².z = –2x³y²z.

b)

Đơn thức A khi thu gọn là – x³y² có hệ số là – 1, phần biến là x³y² và bậc là 3 + 2 = 5.

Đơn thức B = 2$\sqrt{3}$ x²yz có hệ số là 2$\sqrt{3}$ , phần biến là x²yz và bậc là 2 + 1 + 1 = 4.

Đơn thức C khi thu gọn là –2x³y²z có hệ số là – 2, phần biến là x³y²z và bậc là 3 + 2 + 1 = 6.

Đơn thức D = (2023 + $\sqrt{3}$)x có hệ số là 2023 + $\sqrt{3}$, phần biến là x, bậc là 1.

Bài 3. Cho các đơn thức: 4xy²; $-\frac{1}{2}$yxy; – 3x²y; 4y² $\frac{1}{2}x$; 5yxy².

a) Liệt kê các đơn thức đồng dạng trong các đơn thức trên.

b) Tính tổng S của các đơn thức đồng dạng ở trên.

c) Tính giá trị của tổng S tại x = 1; y = – 2.

Hướng dẫn giải

a) Thu gọn các đơn thức chưa thu gọn, ta được:

$-\frac{1}{2}$yxy = $-\frac{1}{2}$xy²

4y² $\frac{1}{2}x$ = 2xy²

5yxy² = 5xy³

Vậy các đơn thức đồng dạng là: 4xy²; $-\frac{1}{2}$yxy; 4y² $\frac{1}{2}x$ vì có cùng phần biến là xy².

b)

S = 4xy² + ( $-\frac{1}{2}$yxy) +  4y² $\frac{1}{2}x$ 

   = 4xy² + ( $-\frac{1}{2}$xy²) + 2xy²

   = [4 + ( $-\frac{1}{2}$) + 2]xy²

   = $\frac{11}{2}$xy²

c) Thay x = 1; y = – 2, ta có:

S = $\frac{11}{2}$.1.( – 2)² =$\frac{11}{2}$.4 = 22.

Vậy S = 22 tại x = 1; y = – 2.

Bài 4. Cho các biểu thức sau:

x³ – x² + 2x + 3;  xy⁴ + 2x³ – x²y + $\frac{x}{\sqrt{2}}$; x³y²z + xyz – $\frac{1}{y^2}$; 2x²y² – 5xyz + 2023;

a) Trong các biểu thức trên, biểu thức nào là đa thức?

b) Xác định hệ số và bậc của từng hạng tử trong các đa thức tìm được.

Hướng dẫn giải

a) Các đa thức là: x³ – x² + 2x + 3;  xy⁴ + 2x³ – x²y + $\frac{x}{\sqrt{2}}$; 2x²y² – 5xyz + 2023.

Biểu thức x³y²z + xyz – $\frac{1}{y^2}$ không là đa thức vì hạng tử – $\frac{1}{y^2}$ không là đơn thức.

b) Đa thức x³ – x² + 2x + 3 có:

Hạng tử x³ có hệ số là 1, bậc 3;

Hạng tử – x² có hệ số là – 1, bậc 2;

Hạng tử 2x có hệ số là 2, bậc 1;

Hạng tử 3 có hệ số là 3, bậc 0.

+ Đa thức xy⁴ + 2x³ – x²y + $\frac{x}{\sqrt{2}}$ có:

Hạng tử xy⁴ có hệ số là 1, bậc 5;

Hạng tử 2x³ có hệ số là 2, bậc 3;

Hạng tử – x²y có hệ số là – 1, bậc 3;

Hạng tử $\frac{x}{\sqrt{2}}$ có hệ số là $\frac{1}{\sqrt{2}}$, bậc 1.

+ Đa thức 2x²y² – 5xyz + 2023 có:

Hạng tử 2x²y² có hệ số là 2, bậc 4;

Hạng tử – 5xyz có hệ số là – 5, bậc 3;

Hạng tử 2023 có hệ số là 2023, bậc 0.

Bài 5. Thu gọn (nếu cần) và tìm bậc của mỗi đa thức sau:

A = 3x²y – 5xy + $\frac{1}{2}$x²y – xy + 3xy – $\frac{2}{3}$x + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$x – $\frac{3}{2}$;

B = 7x⁵ – $\frac{1}{2}$x³y – $\frac{3}{4}$xy²  + 3;

C = 5x²y + xy² – xy + 3 + 2xy² – 5xy – 5x²y + 1.

Hướng dẫn giải

A = 3x²y – 5xy + $\frac{1}{2}$x²y – xy + 3xy – $\frac{2}{3}$x + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$x – $\frac{3}{2}$

    = (3x²y + $\frac{1}{2}$x²y) + (– 5xy – xy + 3xy) + (– $\frac{2}{3}$x + $\frac{1}{3}$x ) + ($\frac{1}{2}$  – $\frac{3}{2}$)

    = $\frac{7}{2}$x²y – 3xy – $\frac{1}{3}$x – 1

Hạng tử $\frac{7}{2}$x²y có bậc 3; hạng tử – 3xy có bậc 2; hạng tử –$\frac{1}{3}$ x có bậc 1; – 1 có bậc 0.

Nên đa thức A có bậc là 3.

B = 7x⁵ – $\frac{1}{2}$x³y – $\frac{3}{4}$xy²  + 3 là đa thức đa thu gọn có:

Hạng tử 7x⁵ có bậc 5; hạng tử – $\frac{1}{2}$x³y có bậc 4; hạng tử –$\frac{3}{4}$xy² có bậc 3; hạng tử 3 có bậc 0.

Nên đa thức B có bậc là 5.

C = 5x²y + xy² – xy + 3 + 2xy² – 5xy – 5x²y + 1

    = (5x²y – 5x²y) + (xy² + 2xy²)  + (– xy – 5xy) + (3 + 1)

    = 3xy² – 6xy + 4

Hạng tử 3xy² có bậc 3; hạng tử – 6xy có bậc 2; hạng tử 4 có bậc 0.

Nên đa thức C có bậc 3.

Bài 6. Cho đa thức M = 9x²y²z – 3xyz + 5y²z – 6x²y²z + x²y² – 3x²y²z.

a) Thu gọn và tìm bậc của đa thức M;

b) Tính giá trị của đa thức M tại x = 1; y = – 1 và z = 2.

Hướng dẫn giải

a) Thu gọn đa thức M:

M = 9x²y²z – 3xyz + 5y²z – 6x²y²z + x²y² – 3x²y²z

     = (9x²y²z – 6x²y²z  – 3x²y²z)  – 3xyz + 5y²z + x²y²

     = – 3xyz + 5y²z + x²y²

Hạng tử – 3xyz có bậc 3; hạng tử 5y²z có bậc 3; hạng tử x²y² có bậc 4.

Vậy đa thức M có bậc 4.

b)  Thay x = 1; y = – 1 và z = 2 vào đa thức M thu gọn, ta được:

M = – 3.1.( – 1).2 + 5.(– 1)².2 + 1².( – 1)²

     =          6          +      10       +      1

     =                           17

Vậy M = 17 tại x = 1; y = – 1 và z = 2.

Bài 7. Tính tổng và hiệu của hai đa thức:

P = 2x²y – x³ + xy² – 7 và Q = x³ – xy² + 2xy + 3x²y + 6.

Hướng dẫn giải

P + Q = (2x²y – x³ + xy² – 7) + (x³ – xy² + 2xy + 3x²y + 6)

          = 2x²y – x³ + xy² – 7 + x³ – xy² + 2xy + 3x²y + 6

          = (2x²y + 3x²y) + (– x³ + x³) + (xy² – xy²) + (– 7 + 6) + 2xy

          = 5x²y – 1 + 2xy

P – Q = (2x²y – x³ + xy² – 7) – (x³ – xy² + 2xy + 3x²y + 6)

          = 2x²y – x³ + xy² – 7 – x³ + xy² – 2xy – 3x²y – 6

          = (2x²y – 3x²y) + (– x³ – x³) + (xy²  + xy²) + (– 7 – 6) – 2xy

          = – x²y – 2x³ + 2xy² – 13 – 2xy.

Bài 8. Cho ba đa thức:

M = 5x³ + 4x²y – 3x + y; N = 6xy + 3x – 2; P = 4x³ – 2x²y + 6x + 1.

a) Tính M + N – P.

b) Tính M – N + P.

Hướng dẫn giải

a) M + N – P = (5x³ + 4x²y – 3x + y) + (6xy + 3x – 2) – (4x³ – 2x²y + 6x + 1)

                      = 5x³ + 4x²y – 3x + y + 6xy + 3x – 2 – 4x³ + 2x²y – 6x – 1

                      = (5x³ – 4x³) + (4x²y + 2x²y) + (– 3x + 3x – 6x) + y + 6xy + (– 2 – 1)

                      = x³ + 6x²y – 6x + y + 6xy – 3.

b) M – N + P = (5x³ + 4x²y – 3x + y) – (6xy + 3x – 2) + (4x³ – 2x²y + 6x + 1)

                      = 5x³ + 4x²y – 3x + y – 6xy – 3x + 2 + 4x³ – 2x²y + 6x + 1

                      = (5x³ + 4x³) + (4x²y – 2x²y) + (– 3x – 3x + 6x) + y – 6xy + (2 + 1)

                      = 9x³ + 2x²y + y – 6xy + 3.

Bài 9. Cho:

A – 6x² + xyz = xy + 3x² + 5xyz – 2;

5x² – 2x³y + 7x³y² – 8 – B = – x³y² + 2x³y + 3xy² – 5x² + 2y;

a) Tìm đa thức A, B.

b) Tính giá trị của đa thức A và B tại x = 0; y = – 1; z = 2.

Hướng dẫn giải

a)

A – 6x² + xyz = xy + 3x² + 5xyz – 2

A = xy + 3x² + 5xyz – 2 – (– 6x² + xyz)

A = xy + 3x² + 5xyz – 2 + 6x² – xyz

A = xy + (3x² + 6x²)  + (5xyz – xyz) – 2

A = xy + 9x² + 4xyz – 2

Vậy đa thức A = xy + 9x² + 4xyz – 2.

5x² – 2x³y + 7x³y² – 8 – B = – x³y² + 2x³y + 3xy² – 5x² + 2y

B = (5x² – 2x³y + 7x³y² – 8) – (– x³y² + 2x³y + 3xy² – 5x² + 2y)

B = 5x² – 2x³y + 7x³y² – 8 + x³y² – 2x³y – 3xy² + 5x² – 2y

B = (5x² + 5x²)  + (– 2x³y – 2x³y) + (7x³y² + x³y²) – 8 – 3xy² – 2y

B = 10x² – 4x³y + 8x³y² – 8 – 3xy² – 2y

b)

Thay x = 0; y = – 1; z = 2 và đa thức A, ta được:

A = 0.(– 1) + 9.0² + 4.0.(– 1).2 – 2

A = – 2

Vậy A = – 2 tại x = 0; y = – 1; z = 2.

Thay x = 0; y = – 1; z = 2 và đa thức B, ta được:

B = 10.0² – 4.0³.(– 1) + 8.0³.(– 1)² – 8 – 3.0.(– 1) ² – 2.(– 1)

B = – 8 + 2

B = – 6

Vậy B = – 6 tại x = 0; y = – 1; z = 2.

Bài 10. Nhân hai đơn thức:

a) 2xy² và – 3x²y;                    

b) $-\frac{2}{5}$x⁴y³ và 10xy;

c) 0,5xyz và 4x³y²z.

Hướng dẫn giải

a) (2xy²).(– 3x²y) = 2.( – 3).(xy²).(x²y) = – 6x³y³                     

b) ($-\frac{2}{5}$ x⁴y³).(10xy) = $-\frac{2}{5}$.10.( x⁴y³).(xy) =  – 4x⁵y⁴

c) (0,5xyz).(4x³y²z) = 0,5.4.(xyz).( x³y²z) = 2x⁴y³z².

Bài 11. Tìm tích của đơn thức với đa thức:

a) – x³(5xy – y³ + 2xy²);

b) (x²y² $-\frac{1}{2}$x²y + $\frac{5}{6}$xy²).12xy.

Hướng dẫn giải

a) – x³(5xy – y³ + 2xy²) = (– x³).5xy + (– x³).( – y³) + (– x³).(2xy²)

                                      = – 5x⁴y + x³y³ – 2x⁴y².

b) (x²y² $-\frac{1}{2}$x²y + $\frac{5}{6}$xy²).12xy = x²y².12xy + ( $-\frac{1}{2}$x²y).12xy +  $\frac{5}{6}$xy².12xy

                                                = 12x³y³ – 6x³y² + 10x²y³.

Bài 12. Làm tính nhân:

a) (x² – xy + y²)(xy + 2);

b) (x – 2y)(x² + 2xy + 4y²).

Hướng dẫn giải

a) (x² – xy + y²)(xy + 2) = (x² – xy + y²).xy + (x² – xy + y²).2

                                         = x³y – x²y² + xy³ + 2x² – 2xy + 2y².

b) (x – 2y)(x² + 2xy + 4y²) = x. (x² + 2xy + 4y²) + (– 2y) (x² + 2xy + 4y²)

                                            = x³ + 2x²y + 4xy² – 2x²y – 4xy² – 8y³

                                            = x³ + (2x²y – 2x²y) + (4xy² – 4xy²) – 8y³

                                            = x³ – 8y³.

Bài 13. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

(2x + 2022).(1 – x²) + x(2x² – 2 + 2022x).

Hướng dẫn giải

Ta có: (2x + 2022).(1 – x²) + x(2x² – 2 + 2022x)

      = 2x.(1 – x²) + 2022.(1 – x²) + 2x³ – 2x + 2022x²

      = 2x – 2x³ + 2022 – 2022x² + 2x³ – 2x + 2022x²

      = (2x – 2x) + (– 2x³ + 2x³) + (– 2022x² + 2022x²) + 2022

      = 0 + 0 + 0 + 2022

      = 2022 với mọi giá trị của x.

Vậy giá trị của biểu thức (2x + 2022).(1 – x²) + x(2x² – 2 + 2022x) không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Bài 14. Tìm đơn thức M, biết:

a) M = ( $\frac{4}{3}$x⁵y³z⁶) : ( $-\frac{1}{6}$x³yz⁴);

b) 5x²y³ : M =$-\frac{1}{2}$ xy.

Hướng dẫn giải

a) M = ( $\frac{4}{3}$x⁵y³z⁶) : ($-\frac{1}{6}$ x³yz⁴)

         = ($\frac{4}{3}$ : ( $-\frac{1}{6}$)).(x⁵ : x³).(y³ : y).(z⁶ : z⁴)

         = – 8x²y²z²

Vậy M = – 8x²y²z².

b) 5x²y³ : M = $-\frac{1}{2}$xy

                M  = (5x²y³) : ( $-\frac{1}{2}$xy)

                M = (5 : ($-\frac{1}{2}$ )).(x² : x).(y³ : y)

                M =  – 10xy²

Vậy M =  – 10xy².

Bài 15. Cho đa thức P = 9xy² – 6x³y² + 3xy. Đa thức P chia hết cho đơn thức nào dưới đây? Thực hiện phép chia trong trường hợp chia hết.

a) A = 3xy²;

b) B = 2xy.

Hướng dẫn giải

a) Ta thấy hạng tử 3xy của đa thức P không chia hết cho đơn thức A = 3xy² do số mũ của biến y trong A lớn hơn trong 3xy (mũ 2 > mũ 1). Do đó, đa thức P không chia hết cho đơn thức A.

b) Các hạng tử của P đều chia hết cho đơn thức B = 2xy. Do đó, đa thức P chia hết cho đơn thức B.

P : B = (9xy² – 6x³y² + 3xy) : (2xy)

         = (9xy²) : (2xy) + (– 6x³y²) : (2xy) + (3xy) : (2xy)

         =$\frac{9}{2}$ y – 3x²y + $\frac{3}{2}$.

Bài 16. Rút gọn biểu thức sau:

8x⁵y⁶z : (– 2x³y²z) + (– 20x⁵y⁴z³ – 10x⁴y³z⁵ + 15x³z³) : (– 5x³z³).

Hướng dẫn giải

    8x⁵y⁶z : (– 2x³y²z) + (– 20x⁵y⁴z³ – 10x⁴y³z⁵ + 15x³z³) : (– 5x³z³)

= – 4x²y⁴ + (– 20x⁵y⁴z³) : (– 5x³z³) + (– 10x⁴y³z⁵) : (– 5x³z³) + (15x³z³) : (– 5x³z³)

= – 4x²y⁴ + 4x²y⁴ + 2xy³z² – 3

= 2xy³z² – 3.

Học tốt Toán 8 Chương 1

Các bài học để học tốt Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 1 Toán lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Bài tập cuối chương 1