Đa thức (Lý thuyết Toán lớp 8) | Kết nối tri thức

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm tóm tắt lý thuyết Toán 8 Bài 2: Đa thức sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Đa thức (Lý thuyết Toán lớp 8) | Kết nối tri thức

Lý thuyết Đa thức

1. Khái niệm đa thức

• Đa thức là tổng của những đơn thức; mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

Ví dụ:

+ Đa thức A = x⁴ – 5x²y² + y³ – 3 có thể viết dưới dạng tổng của các đơn thức là:

A = x⁴ + (– 5x²y²) + y³ + (– 3)

Vậy đa thức A có 4 hạng tử là x⁴; – 5x²y²; y³; – 3.

+ Biểu thức y² + 2y + $\sqrt{y}$  không là đa thức vì trong đó có hạng tử $\sqrt{y}$  không là đơn thức.

Chú ý: Mỗi đơn thức cũng được coi là một đa thức.

Chẳng hạn, các đơn thức 3; x²; 2xy cũng được coi là đa thức.

2. Đa thức thu gọn

• Đa thức thu gọn là đa thức không có hai hạng tử nào đồng dạng.

• Với các đa thức chưa thu gọn, ta có thể thu gọn chúng bằng cách:

          – Đổi chỗ và nhóm các hạng tử đồng dạng.

          – Cộng các hạng tử đồng dạng trong mỗi nhóm.

Ví dụ:

+ Đa thức A = x³ + 3xy² – x + 5 không có hạng tử nào đồng dạng với nhau. Nên A là đa thức thu gọn.

+ Đa thức B = x² + 5xy + 2x² – 6y² + y có hạng tử x² và 2x² là các hạng tử đồng dạng. Nên B là đa thức chưa thu gọn.

+ Để thu gọn đa thức B = x² + 5xy + 2x² – 6y² + y ta làm như sau:

B = x² + 5xy + 2x² – 6y² + y

    = (x² + 2x²) + 5xy – 6y² + y

    = 3x² + 5xy – 6y² + y (dạng thu gọn của đa thức B).

Chú ý:

• Ta thường viết một đa thức dưới dạng thu gọn (nếu không có yêu cầu gì khác).

• Bậc của một đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó. Một đa thức thu gọn có thể có nhiều hạng tử cùng có bậc cao nhất.

Chẳng hạn, đa thức N = 5xy + x⁵ – xy² + x³y + 2x⁴ – 5x³y + 2xy – x⁵

Để tìm bậc của đa thức N, trước hết cần thu gọn đa thức:

N = 5xy + x⁵ – xy² + x³y + 2x⁴ – 5x³y + 2xy – x⁵

    = (5xy + 2xy) + (x⁵ – x⁵) – xy² + (x³y – 5x³y) + 2x⁴

    = 7xy – xy² – 4x³y + 2x⁴

Trong đa thức N thu gọn, hạng tử 7xy có bậc 2; hạng tử – xy² có bậc 3; hạng tử – 4x³y  và 2x⁴ cùng có bậc 4. Vậy bậc của N là 4.

• Một số khác 0 tùy ý được coi là một đa thức bậc 0.

Chẳng hạn, 3 là đa thức bậc 0.

• Số 0 cũng là một đa thức, gọi là đa thức không. Nó không có bậc xác định.

Bài tập Đa thức

Bài 1. Cho các biểu thức sau:

x³ – x² + 2x + 3;  xy⁴ + 2x³ – x²y + $\frac{x}{\sqrt{2}}$ ; x³y²z + xyz – $\frac{1}{y^2}$ ; 2x²y² – 5xyz + 2023;

a) Trong các biểu thức trên, biểu thức nào là đa thức?

b) Xác định hệ số và bậc của từng hạng tử trong các đa thức tìm được.

Hướng dẫn giải

a) Các đa thức là: x³ – x² + 2x + 3;  xy⁴ + 2x³ – x²y + $\frac{x}{\sqrt{2}}$ ; 2x²y² – 5xyz + 2023.

Biểu thức x³y²z + xyz – $\frac{1}{y^2}$  không là đa thức vì hạng tử – $\frac{1}{y^2}$  không là đơn thức.

b) Đa thức x³ – x² + 2x + 3 có:

Hạng tử x³ có hệ số là 1, bậc 3;

Hạng tử – x² có hệ số là – 1, bậc 2;

Hạng tử 2x có hệ số là 2, bậc 1;

Hạng tử 3 có hệ số là 3, bậc 0.

+ Đa thức xy⁴ + 2x³ – x²y + $\frac{x}{\sqrt{2}}$  có:

Hạng tử xy⁴ có hệ số là 1, bậc 5;

Hạng tử 2x³ có hệ số là 2, bậc 3;

Hạng tử – x²y có hệ số là – 1, bậc 3;

Hạng tử $\frac{x}{\sqrt{2}}$  có hệ số là $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , bậc 1.

+ Đa thức 2x²y² – 5xyz + 2023 có:

Hạng tử 2x²y² có hệ số là 2, bậc 4;

Hạng tử – 5xyz có hệ số là – 5, bậc 3;

Hạng tử 2023 có hệ số là 2023, bậc 0.

Bài 2. Thu gọn (nếu cần) và tìm bậc của mỗi đa thức sau:

A = 3x²y – 5xy + $\frac{1}{2}$x²y – xy + 3xy – $\frac{2}{3}$ x +$\frac{1}{2}$+ $\frac{1}{3}$x – $\frac{3}{2}$ ;

B = 7x⁵ – $\frac{1}{2}$x³y – $\frac{3}{4}$xy²  + 3;

C = 5x²y + xy² – xy + 3 + 2xy² – 5xy – 5x²y + 1.

Hướng dẫn giải

A = 3x²y – 5xy + $\frac{1}{2}$x²y – xy + 3xy – $\frac{2}{3}$x + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$x – $\frac{3}{2}$

    = (3x²y + $\frac{1}{2}$x²y) + (– 5xy – xy + 3xy) + (– $\frac{2}{3}$ x + $\frac{1}{3}$ x ) + ( $\frac{1}{2}$ – $\frac{3}{2}$ )

    = $\frac{7}{2}$ x²y – 3xy – $\frac{1}{3}$ x – 1

Hạng tử $\frac{7}{2}$ x²y có bậc 3; hạng tử – 3xy có bậc 2; hạng tử – $\frac{1}{3}$ x có bậc 1; – 1 có bậc 0.

Nên đa thức A có bậc là 3.

B = 7x⁵ – $\frac{1}{2}$ x³y – $\frac{3}{4}$ xy²  + 3 là đa thức đa thu gọn có:

Hạng tử 7x⁵ có bậc 5; hạng tử – $\frac{1}{2}$ x³y có bậc 4; hạng tử –$\frac{3}{4}$ xy² có bậc 3; hạng tử 3 có bậc 0.

Nên đa thức B có bậc là 5.

C = 5x²y + xy² – xy + 3 + 2xy² – 5xy – 5x²y + 1

    = (5x²y – 5x²y) + (xy² + 2xy²)  + (– xy – 5xy) + (3 + 1)

    = 3xy² – 6xy + 4

Hạng tử 3xy² có bậc 3; hạng tử – 6xy có bậc 2; hạng tử 4 có bậc 0.

Nên đa thức C có bậc 3.

Bài 3. Cho đa thức M = 9x²y²z – 3xyz + 5y²z – 6x²y²z + x²y² – 3x²y²z.

a) Thu gọn và tìm bậc của đa thức M;

b) Tính giá trị của đa thức M tại x = 1; y = – 1 và z = 2.

Hướng dẫn giải

a) Thu gọn đa thức M:

M = 9x²y²z – 3xyz + 5y²z – 6x²y²z + x²y² – 3x²y²z

     = (9x²y²z – 6x²y²z  – 3x²y²z)  – 3xyz + 5y²z + x²y²

     = – 3xyz + 5y²z + x²y²

Hạng tử – 3xyz có bậc 3; hạng tử 5y²z có bậc 3; hạng tử x²y² có bậc 4.

Vậy đa thức M có bậc 4.

b)  Thay x = 1; y = – 1 và z = 2 vào đa thức M thu gọn, ta được:

M = – 3.1.( – 1).2 + 5.(– 1)².2 + 1².( – 1)²

     =          6          +      10       +      1

     =                           17

Vậy M = 17 tại x = 1; y = – 1 và z = 2.

Học tốt Đa thức

Các bài học để học tốt Đa thức Toán lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Bài 2: Đa thức