X

Toán 9 Cánh diều

Bài 4 trang 124 Toán 9 Tập 1 Cánh diều


Chứng minh trong một đường tròn:

Giải Toán 9 Bài tập cuối chương 5 - Cánh diều

Bài 4 trang 124 Toán 9 Tập 1: Chứng minh trong một đường tròn:

a) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy;

b) Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy;

c) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm;

d) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Lời giải:

a)

Bài 4 trang 124 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Gọi (O) là đường tròn có đường kính vuông góc với dây AB tại H.

Xét ∆OAB có OA = OB = R nên ∆OAB cân tại O.

∆OAB cân tại O có OH là đường cao (do OH ⊥ AB) nên đồng thời là đường trung tuyến của tam giác. Do đó H là trung điểm của AB.

Vậy đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

b)

Bài 4 trang 124 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Gọi (O) là đường tròn có đường kính đi qua trung điểm H của dây AB.

Xét ∆OAB có OA = OB = R nên ∆OAB cân tại O.

∆OAB cân tại O có OH là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao của tam giác. Do đó OH ⊥ AB tại H.

Vậy đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

c)

Bài 4 trang 124 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Gọi (O) là đường tròn có hai dây AB, CD. Gọi OH, OK lần lượt là khoảng cách từ O đến AB, CD. Khi đó OH ⊥ AB tại H và OK ⊥ CD tại K.

Do đó, theo kết quả của câu a, ta có: H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Suy ra HB = 12AB và KD = 12CD.

Mà AB = CD nên HB = KD. (1)

Xét ∆OHB vuông tại H, ta có: OB2 = OH2 + HB2 (định lí Pythagore).

Suy ra OH2 = OB2 – HB2 = R2 – HB2. (2)

Xét ∆OKD vuông tại H, ta có: OD2 = OK2 + KD2 (định lí Pythagore).

Suy ra OK2 = OD2 – KD2 = R2 – KD2. (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra OH2 = OK2, hay OH = OK.

Vậyhai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

d)

Bài 4 trang 124 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Gọi (O) là đường tròn có hai dây AB, CD bằng nhau. Gọi OH, OK lần lượt là khoảng cách từ O đến AB, CD. Khi đó OH ⊥ AB tại H, OK ⊥ CD tại K.

Do đó, theo kết quả của câu a, ta có: H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Suy ra AB = 2HB và CD = 2KD.

Theo bài, OH = OK, suy ra OH2 = OK2. (1)

Xét ∆OHB vuông tại H, ta có: OB2 = OH2 + HB2 (định lí Pythagore).

Suy ra HB2 = OB2 – OH2 = R2 – OH2. (2)

Xét ∆OKD vuông tại H, ta có: OD2 = OK2 + KD2 (định lí Pythagore).

Suy ra KD2 = OD2 – OK2 = R2 – OK2. (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra HB2 = KD2, hay HB = KD.

Do đó 2HB = 2KD hay AB = CD.

Vậy hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Lời giải bài tập Toán 9 Bài tập cuối chương 5 hay, chi tiết khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác: