Bài 5 trang 124 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Cho hai đường tròn (I; r) và (K; R) tiếp xúc ngoài với nhau tại P với R ≠ r, đường thẳng a lần lượt tiếp xúc với (I; r) và (K; R) tại A và B, a cắt KI tại O. Đường thẳng qua P vuông góc với IK cắt đường thẳng a tại M. Chứng minh:

Giải Toán 9 Bài tập cuối chương 5 - Cánh diều

Bài 5 trang 124 Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (I; r) và (K; R) tiếp xúc ngoài với nhau tại P với R ≠ r, đường thẳng a lần lượt tiếp xúc với (I; r) và (K; R) tại A và B, a cắt KI tại O. Đường thẳng qua P vuông góc với IK cắt đường thẳng a tại M. Chứng minh:

a) $\frac{OI}{OK}=\frac{r}{R};$

b) AB = 2MP;

c) $\widehat{IMK}=90°.$

Lời giải:

a) Vì đường thẳng a là tiếp tuyến của hai đường tròn (I) và (K) lần lượt tại tiếp điểm A, B nên IA ⊥ a tại A, KB ⊥ a tại B. Do đó IA // KB.

Xét ∆OBK có IA // KB nên $\frac{OI}{OK}=\frac{IA}{KB}=\frac{r}{R}$ (hệ quả định lí Thalès).

b) Vì MP ⊥ IK tại P nên MP là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).

Xét đường tròn (I), hai tiếp tuyến MA, MP cắt nhau tại M nên MA = MP (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Xét đường tròn (K), hai tiếp tuyến MB, MP cắt nhau tại M nên MB = MP (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Do đó MA + MB = MP + MP hay AB = 2MP.

c) Xét đường tròn (I), hai tiếp tuyến MA, MP cắt nhau tại M nên MI là tia phân giác của góc AMP (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó $\widehat{IMP}=\frac{1}{2}\widehat{AMP}.$

Xét đường tròn (K), hai tiếp tuyến MB, MP cắt nhau tại M nên MK là tia phân giác của góc BMP (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó $\widehat{KMP}=\frac{1}{2}\widehat{BMP}.$

Ta có:

$\widehat{IMP}+\widehat{KMP}=\frac{1}{2}\widehat{AMP}+\frac{1}{2}\widehat{BMP}=\frac{1}{2}\left(\widehat{AMP}+\widehat{BMP}\right)=\frac{1}{2}\cdot 180°=90°.$

Hay $\widehat{IMK}=90°.$

Vậy $\widehat{IMK}=90°.$

Lời giải bài tập Toán 9 Bài tập cuối chương 5 hay, chi tiết khác:

• Bài 1 trang 124 Toán 9 Tập 1: Trong Hình 92, cho các điểm A, B, C, D, E thuộc đường tròn (O) ....

• Bài 2 trang 124 Toán 9 Tập 1: a) Độ dài cung tròn có số đo 30° của đường tròn bán kính R là: ....

• Bài 3 trang 124 Toán 9 Tập 1: a) Vì ABCD là hình vuông nên ta có $\widehat{ADC}=\widehat{ABC}=\widehat{DCB}=90°.$ ....

• Bài 4 trang 124 Toán 9 Tập 1: Chứng minh trong một đường tròn: ....

• Bài 6 trang 125 Toán 9 Tập 1: Mặt đĩa CD ở Hình 93 có dạng hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn ....

• Bài 7 trang 125 Toán 9 Tập 1: Hình 94 mô tả mảnh vải có dạng một phần tư hình vành khuyên ....

• Bài 8 trang 125 Toán 9 Tập 1: Logo ở Hình 95 có dạng một hình quạt tròn bán kính 8 cm và góc ở tâm bằng 60° ....

• Bài 9 trang 125 Toán 9 Tập 1: Hình 96 biểu diễn vùng biển được chiếu sáng bởi một hải đăng ....