Lý thuyết Toán lớp 9 Bài tập cuối chương 6 - Kết nối tri thức

---

Haylamdo tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 6: Hàm số y = ax (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 9 Chương 6.

Lý thuyết Toán lớp 9 Bài tập cuối chương 6 - Kết nối tri thức

Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 6

1. Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Hàm số y = ax² (a ≠ 0) xác định với mọi giá trị x thuộc ℝ.

2. Đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0)

2.1. Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Bước 1. Lập bảng ghi một số cặp giá trị tương ứng của x và y.

Bước 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn các cặp điểm (x; y) trong bảng giá trị trên và nối chúng lại để được một đường cong là đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0).

2.2. Nhận biết tính đối xứng của đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0) là một đường cong, gọi là đường parabol, có các tính chất sau:

⦁ Có đỉnh là gốc tọa độ O;

⦁ Có trục đối xứng là Oy;

⦁ Nằm phía trên trục hoành nếu a > 0 và nằm phía dưới trục hoành nếu a < 0.

Chú ý: Hai điểm (x; y) và (–x; y) đối xứng nhau qua trục tung Oy.

Nhận xét:

⦁ Khi vẽ đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0), ta cần xác định tối thiểu 5 điểm thuộc đồ thị là gốc tọa độ O và hai cặp điểm đối xứng với nhau qua trục tung Oy.

⦁ Do đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0) nhận trục tung Oy là trục đối xứng nên ta có thể lập bảng giá trị của hàm số này với những giá trị x không âm và vẽ phần đồ thị tương ứng ở bên phải trục tung, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị đã vẽ qua trục tung ta sẽ được đồ thị của hàm số đã cho.

3. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng

ax² + bx + c = 0,

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là hệ số và a ≠ 0.

4. Cách giải phương trình bậc hai một ẩn có dạng đặc biệt

– Cách giải một số phương trình bậc hai một ẩn dạng khuyết:

Ta giải phương trình bậc hai có dạng ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), mà khuyết số hạng bậc nhất (tức là b = 0) hoặc khuyết số hạng tự do (tức là c = 0) bằng phương pháp đặt nhân tử chung đưa về dạng tích hoặc dùng hằng đẳng thức để đưa vế trái về một bình phương.

Chú ý:

⦁ Nếu A.B = 0 thì A = 0 hoặc B = 0;

⦁ Nếu A² = B (B ≥ 0) thì $A=\sqrt{B}$ hoặc $A=-\sqrt{B}.$

– Để giải phương trình bậc hai dạng x² + bx = c, ta có thể cộng thêm vào hai vế của phương trình với cùng một số thích hợp để vế trái có thể biến đổi thành một bình phương. Từ đó có thể giải phương trình đã cho.

5. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

5.1. Cách giải phương trình bậc hai

Để giải phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) trong trường hợp tổng quát, ta làm như sau:

– Chuyển hạng tử tự do c sang vế phải: ax² + bx = –c.

– Chia cả hai vế của phương trình cho hệ số a của x²: $x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}.$

– Cộng vào hai vế của phương trình nhận được với $\frac{b^2}{4a^2}$để vế trái có thể biến đổi thành bình phương của một biểu thức: $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$hay ${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.$

Kí hiệu ∆ = b² – 4ac và gọi là biệt thức của phương trình (∆ đọc là “đenta”). Khi đó, ta có thể viết lại phương trình cuối dưới dạng ${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{\Delta }{4a^2}.$

5.2. Công thức nghiệm của của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).

Tính biệt thức ∆ = b² – 4ac.

⦁ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}.$

⦁ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}.$

⦁ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

5.3. Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), với b = 2b’ và ∆’ = b’² – ac.

⦁ Nếu ∆’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b^{\text{'}}+\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}}{a};x_2=\frac{-b^{\text{'}}-\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}}{a}.$

⦁ Nếu ∆’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=-\frac{b^{\text{'}}}{a}.$

⦁ Nếu ∆’ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

6. Tìm nghiệm của phương trình bậc hai bằng máy tính cầm tay

Sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể dễ dàng tìm nghiệm của các phương trình bậc hai một ẩn.

Ví dụ. Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm của các phương trình sau:

a) x² – 12x + 4 = 0;

b) $4x^2+x+\frac{1}{16}=0;$

c) $-5x^2+\sqrt{3}x-6=0.$

Hướng dẫn giải

Với một loại máy tính cầm tay, sau khi mở máy ta bấm phím để chuyển về chế độ giải phương trình bậc hai.

Tiếp theo, với từng phương trình, ta thực hiện như sau:

Chú ý: Để hiển thị kết quả xấp xỉ ở dạng số thập phân sau khi nhận kết quả ta bấm phím

7. Định lí Viète của phương trình bậc hai

Nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}.\end{array}\right.$

8. Áp dụng định lí Viète để tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

Giải phương trình bậc hai khi biết một nghiệm của nó

Xét phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).

⦁ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = 1, còn nghiệm kia là $x_2=\frac{c}{a}.$

⦁ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = –1, còn nghiệm kia là $x_2=-\frac{c}{a}.$

9. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Thiết lập phương trình bậc hai để tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai:

x² – Sx + P = 0.

Điều kiện để có hai số đó là S² – 4P ≥ 0.

10. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Các bước giải một bài toán bằng cách lập phương trình:

Bước 1. Lập phương trình:

– Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

– Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

B. Bài tập tự luyện

1. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1. Hàm số nào sau đây có dạng y = ax² (a ≠ 0)?

A. y = –6x;

B. y = x²;

C. y = 0x²;

D. $y=\frac{2}{x^2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hàm số y = x² có dạng y = ax² (a ≠ 0) với a = 1.

Các hàm số y = –6x; y = 0x² và $y=\frac{2}{x^2}$ không có dạng y = ax² (a ≠ 0).

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 2. Đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0) là một đường cong nằm phía trên trục hoành nếu

A. a > 0;

B. a < 0;

C. a = 1;

D. a = –2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0) là một đường cong, gọi là parabol, nằm phía trên trục hoành nếu a > 0.

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 3. Cho điểm M(–4; 7) thuộc đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0). Điểm đối xứng của M(–4; 8) qua trục đối xứng của đồ thị hàm số đã cho là

A. N(4; –7);

B. P(–4; –7);

C. M(–4; 7);

D. Q(4; 7).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có trục đối xứng của đồ thị hàm số đã cho là trục tung Oy.

Suy ra điểm đối xứng của M(–4; 7) qua trục tung Oy là Q(4; 7).

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 4. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai ẩn x?

A. 5x² = 0;

B. $\sqrt{7}{t}^2-6t+4=0;$

C. $\frac{1}{y^2}+\frac{2}{y}-5=0;$

D. 0x² + 6x + 15 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình 5x² = 0 là phương trình bậc hai ẩn x với các hệ số a = 5, b = c = 0.

Phương trình $\sqrt{7}{t}^2-6t+4=0$ là phương trình bậc hai ẩn t với các hệ số $a=\sqrt{7},b=-6,c=4.$

Phương trình $\frac{1}{y^2}+\frac{2}{y}-5=0$ không là phương trình bậc hai vì có chứa ẩn y dưới mẫu.

Phương trình 0x² + 6x + 15 = 0 không là phương trình bậc hai vì có hệ số a = 0.

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 5. Phương trình 4x² – 11x = 0 có nghiệm là

A. x = 0;

B. $x_1=0,x_2=-\frac{11}{4};$

C. $x_1=0,x_2=\frac{11}{4};$

D. $x=-\frac{11}{4}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Giải phương trình:

4x² – 11x = 0

x(4x – 11) = 0

x = 0 hoặc 4x – 11 = 0

x = 0 hoặc $x=\frac{11}{4}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là $x_1=0,x_2=\frac{11}{4}.$

Do đó ta chọn phương án C.

Bài 6. Tổng và tích hai nghiệm của phương trình 5x² + 12x + 6 = 0 lần lượt bằng

A. $-\frac{6}{5}$ và $\frac{6}{5};$

B. $\frac{12}{5}$ và $-\frac{6}{5};$

C. $-\frac{12}{5}$ và $\frac{6}{5};$

D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là:

Vì b = 12 nên b’ = 6.

Ta có: ∆’ = b’² – ac = 6² – 5.6 = 6 > 0.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{12}{5};x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{6}{5}.$

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 7. Một người muốn uốn một tấm tôn phẳng có dạng hình chữ nhật với bề ngang là 32 cm thành một máng dẫn nước bằng cách chia tấm tôn đó thành ba phần rồi gấp hai bên lại theo một góc vuông (như hình vẽ) sao cho 0 < x < 16. Người đó muốn diện tích mặt cắt ngang của máng dẫn nước bằng 120 cm².

Khi đó phương trình bậc hai ẩn x biểu thị diện tích mặt cắt ngang của máng dẫn nước là:

A. –2x² – 32x = 240;

B. –2x² + 32x + 120 = 0;

C. x² + 16x – 60 = 0;

D. x² – 16x + 60 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Diện tích mặt cắt ngang là: (32 – 2x).x (cm²)

Vì diện tích mặt cắt ngang của máng dẫn nước bằng 120 cm² nên ta có phương trình:

(32 – 2x).x = 120, tức là 32x – 2x² – 120 = 0, hay x² – 16x + 60 = 0.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 8. Một công ty vận tải điều một số xe tải để chở 50 tấn hàng. Khi đến kho hàng thì có 3 xe bị hỏng nên để chở hết số hàng thì mỗi xe còn lại phải chở thêm 0,6 tấn so với dự định ban đầu. Giả sử x là số xe công ty vận tải cần điều đi để chở hàng và công ty đó điều đi không quá 25 xe tải. Khi đó điều kiện của ẩn x là:

A. 0 < x < 26;

B. 0 < x ≤ 25 và x ∈ ℕ;

C. 0 < x ≤ 25;

D. 0 < x ≤ 26 và x ∈ ℕ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi x là số xe công ty vận tải cần điều đi để chở hàng, khi đó x ∈ ℕ*.

Mà công ty đó điều đi không quá 25 xe tải nên ta có điều kiện: 0 < x ≤ 25 và x ∈ ℕ.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài tập cuối chương 6

Bài 1. Cho hàm số y = –2x².

a) Trong các điểm A(4; –32), B(–8; –86), $C\left(\frac{3}{4};-\frac{9}{8}\right),$ điểm nào thuộc đồ thị hàm số?

b) Tìm các điểm thuộc đồ thị của hàm số có hoành độ lần lượt bằng 2 và –5.

c) Tìm các điểm thuộc đồ thị của hàm số có tung độ bằng –98.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: –32 = –2.4² (đúng). Suy ra điểm A(4; –32) thuộc đồ thị hàm số.

Ta có: –2.(–8)² = –128 ≠ –86 (sai). Suy ra điểm B(–8; –86) không thuộc đồ thị hàm số.

Ta có: $-\frac{9}{8}=-2.{\left(\frac{3}{4}\right)}^2$ (đúng). Suy ra điểm $C\left(\frac{3}{4};-\frac{9}{8}\right)$ thuộc đồ thị hàm số.

Vậy điểm A(4; –32) và điểm $C\left(\frac{3}{4};-\frac{9}{8}\right)$ thuộc đồ thị hàm số y = –2x²; điểm B(–8; –86) không thuộc đồ thị hàm số y = –2x².

b) Với x = 2, ta có: y = –2.2² = –8.Suy ra tọa độ M(2; –8).

Với x = –5, ta có: y = –2.(–5)² = –50. Suy ra tọa độ N(–5; –50).

Vậy tọa độ M(2; –8) và N(–5; –50) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c) Với y = –98, ta có: –2x² = –98, hay x² = 49.

Suy ra x = 7 hoặc x = –7.

Vậy tọa độ P(7; –98) và Q(–7; –98) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 2. Cho hai hàm số $y=\frac{1}{8}{x}^2$ và $y=-\frac{2}{3}{x}^2.$ Vẽ đồ thị của hai hàm số đã cho trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.

Hướng dẫn giải

⦁ Lập bảng một số giá trị tương ứng giữa x và y của hàm số $y=\frac{1}{8}{x}^2:$

Biểu diễn các điểm (–4; 2), $\left(-2;\frac{1}{2}\right),$$\left(-1;\frac{1}{8}\right),$(0; 0), $\left(1;\frac{1}{8}\right),$$\left(2;\frac{1}{2}\right),$ (4; 2) trên mặt phẳng tọa độ Oxy và nối chúng lại, ta được đồ thị hàm số $y=\frac{1}{8}{x}^2.$

⦁ Lập bảng một số giá trị tương ứng giữa x và y của hàm số $y=-\frac{2}{3}{x}^2:$

Biểu diễn các điểm (–3; –6),$\left(-2;-\frac{8}{3}\right),$$\left(-1;-\frac{2}{3}\right),$(0; 0),$\left(1;-\frac{2}{3}\right),$$\left(2;-\frac{8}{3}\right),$ (3; –6) trên mặt phẳng tọa độ Oxy và nối chúng lại, ta được đồ thị hàm số $y=-\frac{2}{3}{x}^2.$

Bài 3. Không giải phương trình, hãy nhận xét số nghiệm của các phương trình sau:

a) –22x² + 3151x – 96 = 0;

b) x² + 82x + 1681 = 0;

c) 4x² – 8x + 2048 = 0.

Hướng dẫn giải

s

a) Ta có: ∆ = b² – 4ac = 3 151² – 4.(–22).(–96) = 9 920 353 > 0.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

b) Vì b = 82 nên b’ = 41.

Ta có: ∆’ = b’² – ac = 41² – 1.1681 = 0.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép.

c) Vì b = –8 nên b’ = –4.

Ta có: ∆’ = b’² – ac = (–4)² – 4.2 048 = –8 176 < 0.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 4. Giải các phương trình sau:

a) (2x – 3)² – 10 = 0;

b) 4x(x + 2) = –15;

c) $x^2-\left(5+\sqrt{3}\right)x+5\sqrt{3}=0;$

d) $x\left(4x+5\right)=3x^2-\frac{25}{4}.$

Hướng dẫn giải

a) (2x – 3)² – 10 = 0

(2x – 3)² = 10

$2x-3=\sqrt{10}$ hoặc $2x-3=-\sqrt{10}$

$2x=3+\sqrt{10}$ hoặc $2x=3-\sqrt{10}$

$x=\frac{3+\sqrt{10}}{2}$ hoặc $x=\frac{3-\sqrt{10}}{2}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là: $x_1=\frac{3+\sqrt{10}}{2};x_2=\frac{3-\sqrt{10}}{2}.$

b) 4x(x + 2) = –15

4x² + 8x = –15

4x² + 8x + 4 = –15 + 4

(2x + 2)² = –11.

Vì –11 < 0 nên phương trình (2x + 2)² = –11 vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

c) $x^2-\left(5+\sqrt{3}\right)x+5\sqrt{3}=0$

Ta có: $\Delta =b^2-4ac={\left(-\left(5+\sqrt{3}\right)\right)}^2-4\cdot 1\cdot 5\sqrt{3}$

$=25+10\sqrt{3}+3-20\sqrt{3}=25-10\sqrt{3}+3={\left(5-\sqrt{3}\right)}^2>0.$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{{\left(5-\sqrt{3}\right)}^2}=\left(5-\sqrt{3}\right)=5-\sqrt{3}.$

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{5+\sqrt{3}+5-\sqrt{3}}{2\cdot 1}=5;$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{5+\sqrt{3}-\left(5-\sqrt{3}\right)}{2\cdot 1}=\sqrt{3}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $x_1=5;x_2=\sqrt{3}.$

d) $x\left(4x+5\right)=3x^2-\frac{25}{4}$

$4x^2+5x=3x^2-\frac{25}{4}$

$x^2+5x+\frac{25}{4}=0.$

Ta có: $\Delta =b^2-4ac=5^2-4\cdot 1\cdot \frac{25}{4}=0.$

Do đó, phương trình $x^2+5x+\frac{25}{4}=0$ có nghiệm kép:

$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2\cdot 1}=-\frac{5}{2}.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép: $x_1=x_2=-\frac{5}{2}.$

Bài 5. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình 2x² – 9x – 15 = 0. Không giải phương trình, hãy tính giá trị các biểu thức:

a) $M=x_1^2+x_2^2.$

b) $N=x_1^3+x_2^3.$

c) P = (x₁ – 5)(x₂ – 5).

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho có: ∆ = b² – 4ac = (–9)² – 4.2.(–15) = 201 > 0.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-9}{2}=\frac{9}{2};x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{-15}{2}.$

a) Ta có: $M=x_1^2+x_2^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2$

$={\left(\frac{9}{2}\right)}^2-2\cdot \frac{-15}{2}=\frac{81}{4}+15=\frac{141}{4}.$

Vậy $M=\frac{141}{4}.$

b) Ta có: $N=x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2\right)$

= (x₁ + x₂).[(x₁ + x₂)² – 3x₁x₂]

$=\frac{9}{2}\cdot \left({\left(\frac{9}{2}\right)}^2-3\cdot \frac{-15}{2}\right)=\frac{9}{2}\cdot \left(\frac{81}{4}+\frac{45}{2}\right)=\frac{1539}{8}.$

Vậy $N=\frac{1539}{8}.$

c) Ta có: P = (x₁ – 5)(x₂ – 5) = x₁x₂ – 5(x₁ + x₂) + 25

$=\frac{-15}{2}-5\cdot \frac{9}{2}+25=-5.$

Vậy P = –5.

Bài 6.Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) $-\frac{5}{4}{x}^2+\frac{11}{8}x-\frac{1}{8}=0;$

b) $4x^2+\left(4+3\sqrt{5}\right)x+3\sqrt{5}=0;$

c) $x^2+\frac{\sqrt{3}}{3}x-4=0,$biết phương trình có hai nghiệm trong đó có một nghiệm $x_1=-\frac{4\sqrt{3}}{3}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $a+b+c=-\frac{5}{4}+\frac{11}{8}-\frac{1}{8}=0$nên phương trình có hai nghiệm:

x₁ = 1, $x_2=\frac{c}{a}=-\frac{1}{8}:\left(-\frac{5}{4}\right)=\frac{1}{10}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x₁ = 1, $x_2=\frac{1}{10}.$

b) Ta có: $a-b+c=4-\left(4+3\sqrt{5}\right)+3\sqrt{5}=0$nên phương trình có hai nghiệm:

x₁ = –1, $x_2=-\frac{c}{a}=-\frac{3\sqrt{5}}{4}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x₁ = –1, $x_2=-\frac{3\sqrt{5}}{4}.$

c) Gọi x₂ là nghiệm còn lại của phương trình.

Theo định lí Viète, ta có: $x_1{x}_2=\frac{c}{a}=\frac{-4}{1}=-4.$

Suy ra $x_2=\frac{-4}{x_1}=-4:\left(-\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)=\sqrt{3}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là: $x_1=-\frac{4\sqrt{3}}{3};x_2=\sqrt{3}.$

Bài 7. Lực F (N) của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương tốc độ v (m/s) của gió theo công thức: F = av², ở đó a là một hằng số và a ≠ 0. Biết rằng khi tốc độ gió là 3 m/s thì lực tác động lên cánh buồm của con thuyền bằng 405 N.

a) Tính hằng số a.

b) Khi tốc độ của gió là v = 12 m/s thì lực F của gió tác động lên cánh buồm là bao nhiêu?

c) Cánh buồm của thuyền chỉ chịu được lực tác động tối đa là 15 000 N. Hỏi con thuyền có thể ra khơi khi tốc độ của gió là 72 km/h hay không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

a) Thay v = 3, F = 405 vào công thức F = av², ta được:

405 = a.3² hay 9a = 405.Suy ra a = 45 (thỏa mãn).

Vậy a = 45.

b) Vì a = 45 nên F = 45v².

Với v = 12, ta có: F = 45.12² = 6480 (N).

Vậy khi tốc độ của gió là v = 12 m/s thì lực F của gió tác động lên cánh buồm là 6 480 N.

c) Đổi 72 km/h = 20 m/s.

Với v = 20 m/s, ta có: F = 45.20² = 18 000 (N).

Vì 18 000 > 15 000 nên con thuyền không thể ra khơi khi tốc độ gió là 72 km/h.

Bài 8. Ra đa của một máy trực thăng theo dõi chuyển động của một ô tô trong 10 phút, phát hiện rằng tốc độ v (km/h) của ô tô thay đổi phụ thuộc vào thời gian t (phút) được cho bởi công thức v = 3t² – 25t + 98.

a) Tính tốc độ của ô tô khi t = 7.

b) Tính giá trị của t khi tốc độ của ô tô là 150 km/h (theo đơn vị phút và làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hướng dẫn giải

a) Với t = 7, ta có: v = 3.7² – 25.7 + 98 = 70 (km/h).

Vậy tốc độ của ô tô khi t = 7 là 70 km/h.

b) Theo giả thiết, ta có: v = 150.

Tức là, 3t² – 25t + 98 = 150.

Hay, 3t² – 25t – 52 = 0.

Phương trình trên có ∆ = b² – 4ac = (–25)² – 4.3.(–52) = 1 249 > 0.

Do đó, phương trình 3t² – 25t – 52 = 0 có hai nghiệm phân biệt:

$t_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{25+\sqrt{1249}}{2\cdot 3}\approx 10,1;$

$t_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{25-\sqrt{1249}}{2\cdot 3}\approx -1,7.$

Vì t > 0 nên ta nhận t₁ ≈ 10,1.

Vậy khi tốc độ của ô tô là 150 km/h thì t ≈ 10,1 phút.

Bài 9. Người ta muốn thiết kế một cửa sổ có dạng hình chữ nhật với diện tích bằng 0,72 m² và chu vi bằng 3,6 m. Tính chiều dài và chiều rộng của cửa sổ.

Hướng dẫn giải

Nửa chu vi của cửa sổ đó là: 3,6 : 2 = 1,8 (m).

Các kích thước của cửa sổ đó là nghiệm của phương trình: x² – 1,8x + 0,72 = 0.

Ta có: ∆ = b² – 4ac = (–1,8)² – 4.1.0,72 = 0,36 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{0,36}=0,6.$

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{1,8+0,6}{2\cdot 1}=1,2;$

$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{1,8-0,6}{2\cdot 1}=0,6.$

Vậy chiều dài và chiều rộng của cửa sổ đó là 1,2 m và 0,6 m (do chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng).

Bài 10. Nếu đổ thêm 250 g nước vào một dung dịch chứa 50 g muối thì nồng độ dung dịch sẽ giảm 10%. Vậy trước khi đổ thêm nước vào dung dịch thì dung dịch đó có bao nhiêu gam nước?

Hướng dẫn giải

Gọi khối lượng nước trong dung dịch trước khi đổ thêm nước là x (g) (x > 0).

Khối lượng dung dịch khi đó là x + 50 (g).

Nồng độ muối trong dung dịch khi đó là: $\frac{50}{x+50}\cdot 100\%.$

Nếu đổ thêm 250 g nước vào dung dịch thì khối lượng của dung dịch là:

x + 50 + 250 = x + 300 (g).

Nồng độ dung dịch lúc này là: $\frac{50}{x+300}\cdot 100\%.$

Vì nồng độ dung dịch giảm 10% nên ta có phương trình:

$\frac{50}{x+50}\cdot 100-\frac{50}{x+300}\cdot 100=10$

$\frac{500\left(x+300\right)}{500\left(x+50\right)\left(x+300\right)}-\frac{500\left(x+50\right)}{500\left(x+50\right)\left(x+300\right)}=\frac{\left(x+50\right)\left(x+300\right)}{500\left(x+50\right)\left(x+300\right)}$

500(x + 300) – 500(x + 50) = (x + 50)(x + 300)

500x + 150 000 – 500x – 25 000 = x² + 300x + 50x + 15 000

x² + 350x – 110 000 = 0.

Vì b = 350 nên b’ = 175.

Ta có: ∆’ = b’² – ac = 175² – 1.(–110 000) = 140 625 > 0 và $\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}=\sqrt{140625}=375.$

Do đó, phương trình x² + 350x – 110 000 = 0 có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b^{\text{'}}+\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}}{a}=\frac{-175+375}{1}=200$ (thỏa mãn điều kiện);

$x_2=\frac{-b^{\text{'}}-\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}}{a}=\frac{-175-375}{1}=-550$ (loại).

Vậy trước khi đổ thêm nước vào dung dịch thì dung dịch đó có 200 gam nước.

Bài 11. Một nhà máy chuyên sản xuất một loại sản phẩm. Năm 2019, nhà máy sản xuất được 10 000 sản phẩm. Do ảnh hưởng của dịch bệnh nên sản lượng của nhà máy trong các năm 2020 và 2021 đều giảm, cụ thể: Số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2020 giảm x% so với số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2019; Số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2021 giảm x% so với số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2020. Biết rằng số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2021 giảm 65% so với số lượng sản phẩm sản xuất được của năm 2019. Tìm x (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hướng dẫn giải

Điều kiện: 0% < x% < 100%.

Do số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2020 giảm x% so với số lượng sản phẩm sản xuất được của năm 2019 nên số lượng sản phẩm sản xuất được năm 2020 là:

10 000 – 10 000.x% = 10 000 – 100x (sản phẩm).

Do số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2021 giảm x% so với số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2020 nên số lượng sản phẩm sản xuất được năm 2021 là:

10 000 – 100x – (10 000 – 100x).x%

= 10 000 – 100x – 100x + x²

= x² – 200x + 10 000 (sản phẩm).

Do số lượng sản phẩm thực tế sản xuất được của năm 2021 giảm 65% so với số lượng sản phẩm sản xuất được của năm 2019 nên số lượng sản phẩm sản xuất được năm 2021 là:

10 000 – 10 000.65% = 3 500 (sản phẩm).

Khi đó, ta có phương trình: x² – 200x + 10 000 = 3 500.

Giải phương trình:

x² – 200x + 10 000 = 3 500

x² – 200x + 6500 = 0.

Vì b = –200 nên b’ = –100.

Ta có: ∆’ = b’² – ac = (–100)² – 1 . 6 500 = 3 500 > 0.

Do đó, phương trình x² – 200x + 6500 = 0 có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b^{\text{'}}+\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}}{a}=\frac{100+\sqrt{3500}}{1}\approx 159,2\%;$

$x_2=\frac{-b^{\text{'}}-\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}}{a}=\frac{100-\sqrt{3500}}{1}\approx 40,8\%.$

Vì 0% < x% < 100% nên ta nhận x ≈ 40,8%.

Vậy x ≈ 40,8 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 12. Một người gửi tiết kiệm 150 triệu đồng kì hạn 12 tháng ở một ngân hàng. Sau kì hạn 12 tháng, tiền lãi của kì hạn đó được cộng vào tiền vốn, rồi người đó tiếp tục đem gửi cho kì hạn 12 tháng tiếp theo. Tổng số tiền người đó nhận được sau khi gửi 24 tháng trên là 172 377 600 đồng. Tìm lãi suất tính theo năm của ngân hàng đó, biết rằng trong 24 tháng đó, lãi suất ngân hàng không thay đổi và người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng.

Hướng dẫn giải

Gọi lãi suất theo năm của ngân hàng đó là x%/năm (x > 0).

Số tiền người đó có được sau khi gửi tiết kiệm 12 tháng đầu tiên là:

$150+150\cdot \frac{x}{100}=150\left(1+\frac{x}{100}\right)$ (triệu đồng).

Số tiền người đó có được sau khi gửi tiết kiệm 24 tháng là:

$150\left(1+\frac{x}{100}\right)+150\left(1+\frac{x}{100}\right).\frac{x}{100}=150\left(1+\frac{x}{100}\right)\left(1+\frac{x}{100}\right)=150{\left(1+\frac{x}{100}\right)}^2$ (triệu đồng).

Vì sau 24 tháng gửi tiết kiệm người đó có tổng số tiền là 172 377 600 đồng = 172,3776 triệu đồng, nên ta có phương trình:

$150{\left(1+\frac{x}{100}\right)}^2=172,3776$

$\frac{3}{200}{\left(100+x\right)}^2=172,3776$

(100 + x)² = 11 491,84

100 + x = 107,2 hoặc 100 + x = –107,2.

x = 7,2 (thỏa mãn) hoặc x = –207,2 (loại).

Vậy lãi suất tính theo năm của ngân hàng đó là 7,2%/năm.

Học tốt Toán 9 Chương 6

Các bài học để học tốt Bài tập cuối chương 6 Toán lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9: Bài tập cuối chương 6