Các dạng bài tập về đường Elip chọn lọc, có lời giải - Toán lớp 10

---

Các dạng bài tập về đường Elip chọn lọc, có lời giải

Với Các dạng bài tập về đường Elip chọn lọc, có lời giải Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập đường Elip từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Biết Elip (E) có các tiêu điểm F₁( - √7; 0), F₂(√7; 0) và đi qua M(- √7; ) . Gọi N là điểm đối xứng với M qua gốc toạ độ. Khi đó

A. = 1    B. OM = 3

C. ON = 3    D. NF₁ + MF₁ = 8.

Hướng dẫn giải:

Ta có N đối xứng với M qua gốc tọa độ nên N(√7; - ) .

Suy ra: NF₁ = ; MF₁ =

Từ đó: NF₁ + MF₁ = 8.

Chọn D.

Ví dụ 2: Cho elíp có phương trình 16x² + 25y² = 100.Tính tổng khoảng cách từ điểm thuộc elíp có hoành độ x = 2 đến hai tiêu điểm.

A. √3    B. 2√2    C. 5    D. 4√3

Hướng dẫn giải:

Ta có: 16x² + 25y² = 100 ⇔

Tổng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc Elip đến 2 tiêu điểm bằng 2a = 5.

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho Elip (E): = 1 và điểm M nằm trên (E). Nếu điểm M có hoành độ bằng 1 thì các khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của (E) bằng

A. 4 ± √2    B. 3 và 5.    C. 3,5 và 4,5 .    D. 4 ±

Hướng dẫn giải

Ta có a² = 16; b² = 12 nên c² = a² - b² = 4

⇒ a = 4; c = 2 và hai tiêu điểm F₁ ( - 2;0); F₂ (2;0).

Điểm M thuộc (E) và x_M = 1 ⇒ y_M = ±

Tâm sai của elip e = ⇒ e = .

⇒ MF₁ = a + ex_M = 4,5; MF₂ = a - ex_M = 3,5

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho elip (E): = 1 và điểm M nằm trên (E). Nếu M có hoành độ bằng
- 13 thì khỏang cách từ M đến hai tiêu điểm bằng

A. 10 và 6    B. 8 và 18    C. 13 ± √5    D. 13 ± √10

Hướng dẫn giải

Từ dạng của elip = 1 ta có

Suy ra: c² = a² – b² = 25 nên c = 5.

Tâm sai của elip e = ⇒ e = .

⇒ MF₁ = a + ex_M = 8; MF₂ = a - ex_M = 18

Chọn B.

Ví dụ 5: Cho elip (E): = 1 , với tiêu điểm F₁; F₂. Lấy hai điểm A; B thuộc elip (E) sao cho AF₁ + BF₁ = 8. Khi đó, AF₂ + BF₂ = ?

A. 6    B. 8    C. 12    D. 10

Lời giải

+ Elip ( E): = 1 có a² = 25 nên a = 5

+ Do A ∈( E) nên AF₁ + AF₂ = 2a = 10.

+ Do B ∈( E) nên BF₁ + BF₂ = 2a = 10

⇒ AF₁ + AF₂ + BF₁ + BF₂ = 20

⇔ (AF₁ + BF₁ ) + (AF₂ + BF₂ ) = 20

⇔ 8 + (AF₂ + BF₂ ) = 20

⇔ AF₂ + BF₂ = 12

Chọn C.

Ví dụ 6: Cho elip (E): = 1. Qua một tiêu điểm của (E) dựng đường thẳng song song với trục Oy và cắt (E) tại hai điểm M và N. Tính độ dài MN.

A.    B.    C. 25    D.

Lời giải

+ Xét elip (E): = 1 có:

a² = 100; b² = 36 nên c² = a² – b² = 64

+ Khi đó, Elip có tiêu điểm F₁ ( - 8; 0)

⇒ đường thẳng d// Oy và đi qua F₁ là x = - 8.

+ Giao điểm của d và (E) là nghiệm của hệ phương trình :

Vậy tọa độ hai giao điểm của d và (E) là M( - 8; ) và N( - 8; - )

⇒ MN =

Chọn B.

Ví dụ 7: Cho ( E): = 1. Một đường thẳng đi qua điểm A(2; 2) và song song với trục hoành cắt (E) tại hai điểm phân biệt M và N. Tính độ dài MN.

A. 3√5    B. 15√2    C. 2√15    D. 5√3

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng d:

⇒ (d) có phương trình là y = 2

+ Ta có d cắt (E) tại M và N nên tọa độ M và N là nghiệm hệ phương trình:

⇒ Tọa độ hai điểm M( √15; 2);N( - √15; 2)

Vậy độ dài đoạn thẳng MN = 2√15 .

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho elip: = 1. Hỏi có bao nhiêu điểm thuộc elip có tọa độ nguyên?

A. 1    B. 4    C. 3    D. 8

Lời giải

Nếu điểm M(x; y) thuộc elip thì các điểm A( x; - y) ; B( - x; y) ; C( - x; - y) cũng thuộc elip. Do đó; ta xét điểm M có tọa độ nguyên dương.

Từ = 1 ⇔ x² = 8 - 4y²

Phương trình trên có nghiệm nếu: 8 - 4y² ≥ 0

Kết hợp x; y > 0 nên 0 < y ≤ √2

⇒ y = 1 và x = 2.

⇒ Các điểm thuộc elip có tọa độ nguyên là: (2;1); (-2; 1); (2; -1) và ( -2; -1)

Chọn B.

Ví dụ 9: Cho elip: = 1. Có bao nhiêu điểm M thuộc elip sao cho M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 60⁰?

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Lời giải

+ Ta có; a² = 9; b² = 5 nên c² = a² – b² = 4

⇒ a = 3 và c = 2.

+ Elip có hai tiêu điểm là F₁( - 2; 0) và F₂ ( 2; 0)

+ Với mọi điểm M ta có: MF₁ = a + = 3 + ; MF₂ = a - = 3 -

MF₁ + MF₂ = 2a = 6

+ Xét tam giác MF₁F₂; áp dụng định lí cosin ta có:

F₁F₂² = MF₁² + MF₂² – 2. MF₁. MF₂. cosM

= [ ( MF₁ + MF₂)² - MF₁ = a + = 3 + ] – 2.MF₁.MF₂.cos60⁰.

⇔ 4² = 6² – 3.MF₁. MF₂

⇔ 16 = 36 - 3. (3 + ) .( 3 - )

⇔ 20 = 3. ( 9 - ) ⇔ x² =

⇔ x = ± ⇒ y = ±

Vậy có bốn điểm thỏa mãn là:

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho elip (E): = 1. Hai điểm A; B là hai đỉnh của elip lần lượt nằm trên hai trục Ox; Oy. Khi đó độ dài đoạn thẳng AB bằng:

A. 34    B. √34    C. 5    D. 4

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

Ta có: a² = 25 và b² = 9

⇒ a = 5; b = 3.

⇒ Tọa độ hai đỉnh A và B là ( 5;0) và (0; 3).

⇒ OA = 5 và OB = 3.

Tam giác OAB vuông tại O có AB = = √34

Vậy AB = √34.

Câu 2: Một elip (E) có trục lớn dài gấp 3 lần trục nhỏ. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng:

A. e =    B. e =    C. e =    D. e =

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

Xét phương trình chính tắc của elip ( E): = 1

Độ dài trục lớn là 2a.

Độ dài trục nhỏ là 2b.

Do độ dài trục lớn dài gấp ba lần độ dài trục nhỏ nên: 2a = 3.(2b)

⇔ a = 3b ⇔ a² = 9b²

⇔ a² = 9(a² – c²) ⇔ 8a² = 9c²

⇔

Vậy e = .

Câu 3: Một elip (E): = 1. Khoảng cách giữa hai đỉnh A( a;0) và B(0; b) gấp lần tiêu cự của nó. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng:

A. e =    B. e =    C. e =    D. e =

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

Ta có khoảng cách giữa hai điểm A và B là: AB =

Tiêu cự của elip đã cho là 2c.

Do khoảng cách giữa hai điểm AB gấp lần tiêu cự của nó nên:

AB = F₁F₂ ⇔ = .2c = 3c

⇔ a² + b² = 9c²

⇔ a² + (a² - c²) = 9c²

⇔ 2a² = 10c² ⇔ a² = 5c²

⇔

Vậy e = .

Câu 4: Cho điểm M(2; 3) nằm trên đường elip (E) có phương trình chính tắc:
= 1. Trong các điểm sau đây điểm nào không nằm trên (E):

A. M₁(-2; 3)    B. M₂(2; -3)    C. M₃(-2; -3)    D. M₄(3; 2)

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

Điểm M đối xứng qua Ox có tọa độ là (2; -3)

Điểm M đối xứng qua Oy có tọa độ là (-2; 3).

Điểm M đối xứng qua gốc tọa độ O có tọa độ là (-2; -3).

Elip nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng; nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng nên các điểm M₁; M₂; M₃ đều thuộc elip (E).

Câu 5: Elip (E): = 1 có độ dài trục bé bằng tiêu cự. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn của (E) bằng:

A. e = 1    B. e = √2    C. e =    D. e =

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Elip (E) có độ dài trục lớn là 2a, độ dài trục bé là 2b; tiêu cự là 2c với c =

Elip (E) có độ dài trục bé bằng tiêu cự nên: 2b = 2c ⇔ b = c

Suy ra: b² = c² ⇔ a² - c² = c²

⇔ a² = 2c²

⇔

Vậy tâm sai e =

Câu 6: Elip (E): = 1 có hai đỉnh trên trục nhỏ cùng với hai tiêu điểm tạo thành một hình vuông. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn của (E) bằng:

A. e = 1.    B. e = √2    C. e =    D. e =

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Elip (E) có độ dài trục lớn là 2a, độ dài trục bé là 2b; tiêu cự là 2c với c =

Eip (E) có hai tiêu điểm là F₁ ( - c; 0) và F₂ (c; 0).

Hai đỉnh trên trục nhỏ là: B1(0; - b) và B2 (0; b).

Do hai đỉnh trên trục nhỏ cùng với hai tiêu điểm tạo thành một hình vuông nên tứ giác B₂F₂B₁F₁ là hình vuông.

⇒ tam giác F₂B₁F₁ vuông cân tại B₁

⇒ OB1 = (F₁ F₂)/2 ⇒ b = c

Suy ra: b² = c₂ ⇔ a² - c₂ = c₂

⇔ a² = 2c₂

⇔

Vậy tâm sai e =

Câu 7: Cho elip (E): ): = 1 và M là một điểm tùy ý trên (E). Khi đó:

A. 3 ≤ OM ≤ 4    B. 4 ≤ OM ≤ 5    C. OM ≥ 5    D. OM ≤ 3

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

Ta có: a² = 16 nên a = 4 và b² = 9 nên b = 3.

Mà OB ≤ OM ≤ OA

⇒ 3 ≤ OM ≤ 4

Câu 8: Cho elip ( E): = 1. Tìm điểm M trên ( E) sao cho MF₁ = 2MF₂ trong đó F₁; F₂ là hai tiêu điểm của elip?

A. M(5; 0) và M( 0; -3)    B. ( ; ) và ( ; - )

C. ( ; ) và ( ; - )    D. Tất cả sai

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

Elip đã cho có: a² = 25; b² = 9

⇒ c² = a² – b² = 16.

Suy ra: a = 5 và c = 4.

+ Ta có: MF₁ = a + = 5 + ; MF₂ = a - = 5 -

+ Để MF₁ = 2MF₂ ⇔ 5 + = 2(5 - )

⇔ 5 + = 10 - 2. ⇔ 3. = 5

⇔ x = ⇒ y = ±

Vậy có hai điểm M thòa mãn: ( ; ) và ( ; - )

Câu 9: Cho elip: = 1. Có bao nhiêu điểm M thuộc elip sao cho M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 90⁰?

A. 0    B. 2    C. 3    D. 4

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

+ Ta có; a² = 9; b² = 5 nên c² = a² – b² = 4

⇒ a = 3 và c = 2.

+ Elip có hai tiêu điểm là F₁(-2; 0) và F₂ ( 2; 0)

+ Do điểm M nhìn hai tiêu điểm một góc 90⁰ nên M thuộc đường tròn đường kính F₁F₂.

⇒ M là giao điểm của elip (E) và đường tròn đường kính F₁F₂.

+ Lập phương trình đường tròn đường kính F₁F₂:

( C) :

⇒ Phương trình (C): x² + y² = 4

+ Đường tròn và elip cắt nhau tại M nên tọa độ M là nghiệm hệ

⇒ Hệ phương trình trên vô nghiệm nên đường tròn và elip không cắt nhau

Vậy không có điểm M nào thỏa mãn.