Cách giải các dạng hệ phương trình đặc biệt cực hay, chi tiết - Toán lớp 10

---

Cách giải các dạng hệ phương trình đặc biệt cực hay, chi tiết

Với Cách giải các dạng hệ phương trình đặc biệt cực hay, chi tiết Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập các dạng hệ phương trình đặc biệt từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

Lý thuyết & Phương pháp giải

DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI

1. Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp thế

- Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.

- Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

- Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.

DẠNG TOÁN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

1. Phương pháp giải

a. Hệ đối xứng loại 1

Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng:

(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).

Cách giải

- Đặt S = x + y, P = xy

- Đưa hệ phương trình (I) về hệ (I') với các ẩn là S và P.

- Giải hệ (I') ta tìm được S và P

- Tìm nghiệm (x; y) bằng cách giải phương trình: X² - SX + P = 0

b. Hệ đối xứng loại 2

Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng:

(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại)

- Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (II) ⇔

- Biến đổi (3) về phương trình tích: (3) ⇔ (x-y).g(x,y) = 0 ⇔

- Như vậy (II) ⇔

- Giải các hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm của hệ (II)

c. Chú ý: Hệ phương trình đối xứng loại 1, 2 nếu có nghiệm là (x₀; y₀) thì (y₀; x₀) cũng là một nghiệm của nó

DẠNG TOÁN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI

1. Phương pháp giải

Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng:

- Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0)

- Khi x ≠ 0, đặt y = tx. Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải hệ phương trình

Hướng dẫn:

a. Đặt S = x + y, P = xy (S² - 4P ≥ 0)

Ta có :

⇒S² - 2(5-S) = 5 ⇒ S² + 2S - 15 = 0

⇒ S = -5; S = 3

S = -5⇒ P = 10 (loại)

S = 3⇒ P = 2(nhận)

Khi đó : x, y là nghiệm của phương trình X² - 3X + 2 = 0

⇔ X = 1; X = 2

Vậy hệ có nghiệm (2; 1), (1; 2)

b. ĐKXĐ: x ≠ 0

Hệ phương trình tương đương với

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1; 1) và (2; -3/2)

Bài 2: Giải hệ phương trình

Hướng dẫn:

a. Hệ phương trình tương đương

Với x-y = 4 ⇒ x = y + 4 ⇒ y(y+4) + y + 4 - y = -1

⇔ y² + 4y + 5 = 0 (vn)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = {(0; 1), (-1; 0)}

b. Đặt S = x+y; P = xy, ta có hệ:

- Với S = 2 + √2; P = 2√2 ta có x, y là nghiệm phương trình:

Với S = -4-√2; P = 6 + 4√2 ta có x, y là nghiệm phương trình:

X² + (4+√2)X + 6 + 4√2 = 0 (vô nghiệm)

Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (2; √2) và (√2; 2)

Bài 3: Giải hệ phương trình

Hướng dẫn:

a. Hệ phương trình tương đương

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = {(0;0), (2;2)}

b. Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được:

(y² - x² = x³ - y³ - 3(x² - y²) + 2(x-y) ⇔ (x-y)(x² + xy + y² - 2x - 2y + 2) = 0 ⇔ 1/2(x-y)[x² + y² + (x + y - 2)²] = 0 ⇔ x = y)

(vì x² + y² + (x+y-2)² > 0)

Thay x = y vào phương trình đầu ta được:

x³ - 4x² + 2x = 0 ⇔ x(x² - 4x + 2) = 0

Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: (0; 0); (2+√2; 2+√2) và (2-√2; 2-√2)

Bài 4: Giải hệ phương trình

Hướng dẫn:

a. Ta có : x³ - 3x = y³ - 3y ⇔ (x-y)(x² + xy + y²) - 3(x-y) = 0

⇔ (x-y)(x² + xy + y² - 3) = 0

Khi x = y thì hệ có nghiệm

Khi x² + xy + y² - 3 = 0 ⇔ x² + y² = 3 - xy, ta có x⁶ + y⁶ = 27

⇔ (x² + y²)(x⁴ - x²y² + y⁴) = 27

⇒ (3-xy)[(3-xy)² - 3x²y²] = 27 ⇔ 3(xy)³ + 27xy = 0

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm

b. Hệ phương trình tương đương

Bài 5: Giải hệ phương trình

Hướng dẫn:

a. Ta có

Nếu x = 0 thay vào (1)⇒ y = 0, thay vào (2) thấy (x; y) = (0; 0) là nghiệm

của phương trình (2) nên không phải là nghiệm của hệ phương trình

Nếu x ≠ 0, đặt y = tx , thay vào hệ ta được

Với t = 1/2 thay vào (**) ta được 4x² + x² + 6x = 27 ⇔ 5x² + 6x - 27 = 0

Với t = 1/3 thay vào (**) ta được 4x² + (2/3)x² + 6x = 27

⇔ 14x² + 18x - 81 = 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là:

b. Dễ thấy x = 0 không thoả hệ

Với x ≠ 0, đặt y = tx, thay vào hệ ta được

Suy ra 3(t² - t + 1) = 2t² - 3t + 4 ⇒ t = ±1

Thay vào (*) thì

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1/√3;(-1)/√3), ((-1)/√3;1/√3), (-1;-1) và (1;1)

Bài 6: Cho hệ phương trình. Tìm giá trị thích hợp của tham số a sao cho hệ có nghiệm (x; y) và tích x.y nhỏ nhất.

Hướng dẫn:

Đặt S = x + y, P = xy (S² - 4P ≥ 0)

Ta có

Đẳng thức xảy ra khi a = -1 (nhận)

Bài 7: Xác định m để hệ phương trìnhcó nghiệm

Hướng dẫn:

Hệ phương trình tương đương

(x² + y² - 2xy) - (x + y - 4xy) = m + 1 - 2m ⇔ (x+y)² - (x+y) + m - 1 = 0

Để hệ phương trình có nghiệm Δ ≥ 0 ⇔ 1 - 4(m-1) ≥ 0 ⇔ 5 - 4m ≥ 0

⇔ m ≤ 5/4

Từ phương trình thứ 2 ta có(x-y)² = m + 1 ⇒ m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ -1

Do đó -1 ≤ m ≤ 5/4