Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

Khoảng cách từ điểm M(x₀; y₀) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0, kí hiệu là d(M, ∆) được tính bởi công thức:

$d\left(M,\Delta \right)=\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

Chú ý:

⦁ Phương trình đường thẳng ∆ cần viết dưới dạng phương trình tổng quát.

⦁ Khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ song song bằng khoảng cách từ điểm M ∈ d₁ đến d₂.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính khoảng cách từ điểm A(1; 5) đến đường thẳng Δ: x + 5y – 2 = 0.

Hướng dẫn giải:

Khoảng cách từ điểm A(1; 5) đến đường thẳng Δ: x + 5y – 2 = 0 là

$d\left(A,\Delta \right)=\frac{\left|1+5.5-2\right|}{\sqrt{1^2+5^2}}=\frac{24}{\sqrt{26}}=\frac{12\sqrt{26}}{13}.$

Ví dụ 2. Tính khoảng cách từ điểm A(–3; 1) đến đường thẳng Δ: $\left\{\begin{array}{l}x=2-3t\\ y=1+t\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

Chuyển đường thẳng Δ về dạng phương trình tổng quát ta được

$\frac{x-2}{-3}=\frac{y-1}{1}\iff 1\left(x-2\right)=-3\left(y-1\right)\iff x+3y-5=0$.

Khoảng cách từ điểm A(–3; 1) đến đường thẳng Δ: x + 3y – 5 = 0 là

 $d\left(A,\Delta \right)=\frac{\left|-3+3\cdot 1-5\right|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khoảng cách từ điểm A(1; 1) đến đường thẳng Δ: 5x – 12y – 6 = 0 là

A. 13;

B. –13;

C. –1;

D. 1.

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng x – 3y + 4 = 0 và 2x + 3y – 1 = 0 đến đường thẳng d: 3x + y + 4 = 0 bằng

A. $2\sqrt{10}$;

B. $\frac{3\sqrt{10}}{5}$;

C. $\frac{\sqrt{10}}{5}$;

D. 2.

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, khoảng cách từ điểm M(2; 0) đến đường thẳng Δ: $\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=2+4t\end{array}\right.$ bằng

A. 2;

B. $\frac{2}{5}$;

C. $\frac{10}{\sqrt{5}}$;

D. $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(0; 3) và C(4; 0). Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A bằng

A. $\frac{1}{5};$

B. $\frac{1}{25};$

C. $\frac{3}{5};$

D. 3.

Bài 5. Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm M(15; 1) đến một điểm bất kì thuộc đường thẳng $\Delta :\left\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=t\end{array}\right.$ bằng:

A. $\sqrt{10};$

B. $\frac{1}{\sqrt{10}};$

C. $\frac{16}{\sqrt{5}};$

D. $\sqrt{5}.$

Bài 6. Giá trị của tham số m để khoảng cách từ điểm A(−1; 2) đến đường thẳng Δ: mx + y – m + 4 = 0 bằng $2\sqrt{5}$ là

A. m = 2;

B. m = –2 hoặc $m=\frac{1}{2}$;

C. $m=-\frac{1}{2}$;

D. Không có giá trị của m.

Bài 7. Đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ O(0; 0) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 8x + 6y + 100 = 0. Bán kính R của đường tròn (C) bằng

A. R = 4;

B. R = 6;

C. R = 8;

D. R = 10.

Bài 8. Khoảng cách từ điểm M(0; 3) đến đường thẳng ∆: xcosα + ysinα + 3(2 – sinα) = 0 bằng

A. $\sqrt{6};$

B. 6;

C. 3sinα;

D. $\frac{3}{\cos \alpha +\sin \alpha }.$

Bài 9. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d₁: 6x – 8y – 101 = 0 và d₂: 3x – 4y = 0 bằng:

A. 10,1;                                

B. 1,01;

C. 101;

D. $\sqrt{101}.$

Bài 10. Khoảng cách giữa hai đường thẳng d: 7x + y – 3 = 0 và $\Delta : \left\{\begin{array}{l}x=-2+t\\ y=2-7t\end{array}\right.$ bằng

A. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$;

B. 15;

C. 9;

D. $\frac{9}{\sqrt{50}}$