Lập phương trình đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước - Toán lớp 10

---

Lập phương trình đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước

Với Lập phương trình đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Lập phương trình đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

A. Phương pháp giải

+ Để lập được phương trình đường tròn ( C) cần xác định được hai yếu tố: tâm I(x₀; y₀) và bán kính R.

⇒ Phương trình đường tròn ( C):

( x - x₀)² + (y - y₀)² = R².

+ Nếu điểm A thuộc đường tròn thì IA = R.

+ Nếu đường tròn đi qua hai điểm A và B thì IA = IB và I nằm trên đường trung trực của AB.

+ Nếu đường tròn tiếp xúc với đường tròn d thì d(I; d) = R.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Đường tròn ( C) tiếp xúc với trục tung tại điểm A(0; - 2) và đi qua điểm
B( 4; -2) có phương trình là

A. (x - 2)² + (y + 2)² = 4    B. (x + 2)² + (y - 2)² = 4

C. (x - 3)² + (y - 2)² = 4    D. (x - 3)² + (y + 2)² = 4

Hướng dẫn giải

+ Phương trình đường thẳng AB:

⇒ Phương trình ( AB) : 0( x - 0) + 1( y + 2) = 0 hay y + 2 = 0

⇒ đường thẳng AB vuông góc với trục tung (1)

+ Lại có: đường tròn ( C) tiếp xúc trục tung tại điểm A( 0; -2) và đi qua điểm B( 4; -2) (2)

Từ ( 1) và( 2) suy ra AB là đường kính của đường tròn ( C) .

⇒ Tâm I của đường tròn là trung điểm AB và có tọa độ:

⇒ I( 2; -2)

Bán kính đường tròn là R = IA = = 2

Vậy (C): (x - 2)² + (y + 2)² = 4 .

Chọn A.

Ví dụ 2: Đường tròn ( C) đi qua hai điểm A( 1; 3); B( 3; 1) và có tâm nằm trên đường thẳng d: 2x - y + 7 = 0 có phương trình là

A. (x - 7)² + (y - 7)² = 102    B. (x + 7)² + (y + 7)² = 164

C. (x - 3)² + (y - 5)² = 25    D. (x + 3)² + (y + 5)² = 25

Hướng dẫn giải

Gọi I ( a; b) là tâm của đường tròn ( C).

Do hai điểm A và B cùng thuộc đường tròn nên IA = IB ⇔ IA² = IB²

⇔ ( a - 1)² + ( b - 3)² = ( a - 3)² + (b - 1)²

⇔ a² - 2a + 1 + b² - 6b + 9 = a² - 6a + 9 + b² - 2b + 1

⇔ a = b ( 1)

Mà điểm I (a; b) thuộc đường thẳng d: 2x - y + 7 = 0 nên 2a - b + 7 = 0 (2)

Từ (1) và ( 2) ta có hệ phương trình:

⇒ I( - 7; -7)

⇒ Bán kính đường tròn là R = IA = = √164

Vậy (C): (x + 7)² + (y + 7)² = 164

Chọn B

Ví dụ 3: Phương trình đường tròn ( C) có tâm I( 6;2) và tiếp xúc ngoài với đường tròn
(C'): x² + y² - 4x + 2y + 1 = 0 là

A. x² + y² - 12x - 4y - 9 = 0    B. x² + y² - 6x - 12y + 31 = 0

C. x² + y² + 12x + 4y + 31 = 0    D. x² + y² - 12x - 4y + 31 = 0

Hướng dẫn:

Đường tròn (C'): x² + y² - 4x + 2y + 1 = 0 có tâm I’( 2; -1) bán kính R’ = 2.

Độ dài đoạn II’ = = 5

Đường tròn (C) tâm I( 6; 2) tiếp xúc ngoài với (C’) khi và chỉ khi:

II’ = R + R’ ⇒ R = II’- R’ = 5 - 2 = 3 .

Đường tròn ( C) có tâm I( 6;2) và bán kính R = 3.

⇒ Phương trình đường tròn : ( x - 6)² + (y - 2)² = 9

hay x² + y² - 12x - 4y + 31 = 0 .

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho đường tròn (C): (x + 1)² + (y - 3)² = 4 và đường thẳng
d: 3x - 4y + 5 = 0. Phương trình của đường thẳng d’ song song với đường thẳng d và chắn trên (C) một dây cung có độ dài lớn nhất là

A. 4x + 3y + 13 = 0.    B. 3x - 4y + 25 = 0.

C. 3x - 4y + 15 = 0.    D. 4x + 3y + 20 = 0

Hướng dẫn giải

+ Đường tròn ( C) có tâm I( - 1 ; 3) và R = 2.

+ Do đường thẳng d’// d nên d’ có dạng : 3x - 4y + c = 0 ( c≠5) .

+ Để đường thẳng d’chắn trên ( C) một dây cung có độ dài lớn nhất khi và chỉ khi đường thẳng d’ đi qua tâm I ( -1 ; 3) của đường tròn

⇒ 3.( - 1) – 4.3 + c = 0 ⇔ - 15 + c = 0 nên c = 15

Vậy phương trình đường thẳng d’ : 3x - 4y + 15 = 0.

Chọn C.

Ví dụ 5 : Đường tròn ( x - a)² + ( y - b)² = R² cắt đường thẳng x + y - a - b = 0 theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu ?

A. 2R    B. R√2    C.    D. R

Hướng dẫn giải

Ta có: đường tròn tâm I (a; b) , bán kính R.

Vì tâm I(a; b) thuộc đường thẳng x + y - a - b = 0 nên độ dài của dây cung bằng độ dài đường kính bằng 2R.

Chọn A.

Ví dụ 6. Đường tròn (C) đi qua hai điểm A( 2; -3); B( 1; -2) và có tâm I thuộc trục hoành có phương trình là:

A. ( x + 2)² + y² = 10    B. ( x - 4)² + y² = 13

C. (x + 4)² + y² = 16    D. (x + 2)² + y² = 12

Lời giải

Gọi tâm đường tròn ( C) là I( a; 0) thuộc trục hoành .

Do đường tròn đi qua hai điểm A và B nên IA = IB

⇔ IA² = IB² ⇔ ( a - 2)² + ( 0 + 3)² = (a - 1)² + (0 + 2)²

⇔ a² - 4a + 4 + 9 = a² - 2a + 1 + 4

⇔ - 2a = - 8 ⇔ a = 4.

⇒ Tâm I( 4;0) và bán kính R = IA = = √13

Vậy đường tròn cần tìm là: ( x - 4)² + y² = 13

Chọn B.

Ví dụ 7. Đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1; 1); B(3; 5) và có tâm I thuộc trục tung có phương trình là:

A. x² + y² - 8y + 6 = 0    B. x² + (y - 4)² = 10

C. x² + (y + 4)² = 6    D. x² + y² + 4y + 6 = 0

Lời giải

Gọi tâm đường tròn ( C) là I( 0; a) thuộc trục tung.

Do đường tròn đi qua hai điểm A và B nên IA = IB

⇔ IA² = IB² ⇔ (1 - 0)² + (1 - a)² = (3 - 0)² + (5 - a)²

⇔ 1 + 1 - 2a + a² = 9 + 25 - 10a + a²

⇔8a = 32 ⇔a = 4

⇒ Tâm đường tròn là I( 0; 4) và bán kính R = IA = √10.

Vậy đường tròn cần tìm là: x² + (y - 4)² = 10

Chọn B.

Ví dụ 8. Đường tròn ( C) có tâm I thuộc đường thẳng d: x + 3y - 5 = 0, bán kính R = 2√2 và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x - y - 1 = 0. Phương trình của đường tròn (C) là:

A. (x + 1)² + (y - 2)² = 8 hoặc (x - 5)² + y² = 8.

B. (x + 1)² + (y - 2)² = 8 hoặc (x + 5)² + y² = 8.

C. (x - 1)² + (y + 2)² = 8 hoặc (x - 5)² + y² = 8.

D. (x - 1)² + (y + 2)² = 8 hoặc (x + 5)² + y² = 8.

Lời giải

Do điểm I thuộc đường thẳng d nên tọa độ điểm I( 5 - 3a; a).

Do đường tròn tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên d(I; ∆) = R

⇔ = 2√2 ⇔ |4 - 4a| = 4

⇔

⇒ Có hai đường tròn thỏa mãn là:

( x - 5)² + y² = 8 và ( x + 1)² + (y - 2)² = 8

Chọn A.

Ví dụ 9. Đường tròn ( C) có tâm I thuộc đường thẳng d: x + 2y - 2 = 0, bán kính R = 5 và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 3x - 4y - 11 = 0. Biết tâm I có hoành độ dương. Phương trình của đường tròn (C) là:

A. (x + 8)² + (y - 3)² = 25.

B. ( x - 2)² + (y + 2)² = 25 hoặc ( x + 8)² + (y - 3)² = 25.

C. (x + 2)² + (y - 2)² = 25 hoặc (x - 8)² + (y + 3)² = 25.

D. (x - 8)² + (y + 3)² = 25.

Lời giải

Do tâm I thuộc đường thẳng d nên tọa độ điểm I( 2 - 2a; a) với a < 1 ( vì tâm I có hoành độ dương ) .

Do đường tròn ( C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên d( I; ∆) = R

⇔ = 5 ⇔ |-5 - 10a| = 25

⇔

Với a = -3 thì tâm I (8; - 3). Khi đó phương trình đường tròn là:

(x - 8)² + (y + 3)² = 25.

Chọn D.

Ví dụ 10. Đường tròn ( C) đi qua hai điểm A( -1; 1); B(3; 3) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x - 4y + 8 = 0. Viết phương trình đường tròn( C), biết tâm của (C) có hoành độ nhỏ hơn 5.

A. (x - 3)² + (y + 2)² = 25    B. (x + 3)² + (y - 2)² = 5

C. (x + 5)² + (y + 2)² = 5    D. (x - 5)² + (y - 2)² = 25.

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng AB:

⇒ Phương trình AB: 1( x + 1) – 2( y - 1) = 0 hay x - 2y + 3 = 0.

+ Do A và B thuộc đường tròn nên IA = IB trong đó I là tâm đường tròn

⇒ I thuộc đường trung trực d của AB .

+ Phương trình đường trung trực d của AB:

⇒ (d) : 4( x - 1) + 2( y - 2) = 0 hay (d): 2x + y - 4 = 0.

Do tâm I thuộc đường thẳng d nên I( a; 4 - 2a) với a < 5

+ Mà đường tròn tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên R = IA = d(I; ∆)

⇔

⇔ 5 = |11a - 8|

⇔ 25( a² + 2a + 1 + 9 - 12a + 4a²) = 121a² - 176a + 64

⇔ 25( 5a² - 10a + 10) – 121a² + 176a - 64 = 0

⇔125a² - 250a + 250 - 121a² + 176a - 64 = 0

⇔4a² - 74a + 186 = 0

⇔

Với a = 3 thì tâm I (3; -2) và bán kính R = IA = 5

Vậy phương trình đường tròn là: ( x - 3)² + ( y + 2)² = 25

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho đường tròn (C): x² + y² + 4x - 6y + 5 = 0 . Đường thẳng d đi qua A(3; 2) và cắt (C) theo một dây cung dài nhất có phương trình là

A. x + y - 5 = 0    B. x - 5y + 7 = 0.    C. x + 5y - 13 = 0.    D. x - 2y + 5 = 0.

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Đường tròn ( C) có tâm I( - 2;3) và bán kính là: R = = √8

Dây cung dài nhất khi dây cung đó là đường kính của (C).

Vậy để đường thẳng d cắt ( C) theo một dây có độ dài lớn nhất thì d đi qua tâm I của đường tròn.

Đường thẳng d:

⇒ đường thẳng d: 1( x - 3) + 5( y - 2) = 0 hay x + 5y - 13 = 0

Câu 2: Cho đường tròn ( C) : x² + y² + 4x - 6y + 5 = 0. Đường thẳng d đi qua A(0; 2) và cắt (C) theo một dây cung ngắn nhất có phương trình là

A. 2x - y + 2 = 0    B. x + y - 1 = 0    C. x - y - 1 = 0    D. x - y + 1 = 0

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

+ Đường tròn (C) tâm I ( -2; 3) và bán kính R = = √8

IA = = √5 < R

⇒ Điểm A nằm trong đường tròn ( C) .

+ Giả sử đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm M và N.

Gọi H là trung điểm của MN thì IH vuông MN( quan hệ đường kính và dây trong đường tròn).

Dây cung MN ngắn nhất ⇔ IH lớn nhất ⇔ H trùng A.

Đường thẳng d ≡ MN:

Vậy d có phương trình : 2( x - 0) – 1( y - 2) = 0 hay 2x - y + 2 = 0

Câu 3: Cho đường tròn ( C) : x² + y² + 6x - 2y + 5 = 0 và đường thẳng d đi qua điểm
A( -4; 2), cắt ( C) tại hai điểm M; N sao cho A là trung điểm của MN. Phương trình của đường thẳng d là

A. x - y + 6 = 0.    B. 7x - 3y + 34 = 0.    C. 7x - 3y + 30 = 0.    D. 7x - y + 35 = 0.

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

+ Đường tròn ( C) có tâm I( - 3; 1), R = √5 .

Do đó, IA = √2 < R ⇒ A ở trong (C).

+ Do A là trung điểm của MN ⇒ IA ⊥ MN ⇒ IA→ = (-1; 1) là vectơ pháp tuyến của d, nên d có phương trình:

- 1( x + 4) + 1( y - 2) = 0 hay –x + y - 6 = 0

Câu 4: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A( - 2;1); B( 3; 5) và điểm M thỏa mãn = 90⁰

A. x² + y² - x - 6y - 1 = 0    B. x² + y² + x + 6y - 1 = 0

C. x² + y² + 5x - 4y + 11 = 0    D. x² + y² - 5x + 4y - 11 = 0

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

Do đường tròn ( C) cần tìm đi qua hai điểm A; B và M thỏa mãn = 90⁰ nên M nằm trên đường tròn đường kính AB.

Bài toán trở thành viết phương trình đường tròn đường kính AB .

Gọi I là tâm đường tròn thì I là trung điểm của AB nên tọa độ điểm I:

⇒ I( ; 3)

và bán kính R = AB = = √41 nên đường tròn ( C) có phương trình .

(x - )² + (y - 3)² = ⇔ x² + y² - x - 6y - 1 = 0

Câu 5: Đường tròn ( C) đi qua hai điểm A( - 1; 2); B( - 2; 3) và có tâm I thuộc đường thẳng ∆: 3x - y + 10 = 0 . Phương trình của đường tròn (C) là:

A. (x + 3)² + (y - 1)² = 5    B. (x - 2)² + (y - 3)² = 10

C. ( x - 4)² + ( y - 1)² = 16    D. ( x + 1)² + (y - 13)² = 25

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

Do tâm I thuộc đường thẳng ∆ nên tọa độ I( a; 3a + 10)

Do hai điểm A và B thuộc đường tròn nên IA = IB

⇔ IA² = IB² ⇔ (a + 1)² + ( 3a + 8)² = (a + 2)² + (3a + 7)²

⇔ a² + 2a + 1 + 9a² + 48a + 64 = a² + 4a + 4 + 9a² + 42a + 49

⇔ 50a + 65 = 46a + 53

⇔ 4a = - 12 ⇔ a = - 3

⇒ Tọa độ tâm I ( - 3; 1)

Bán kính đường tròn là IA = = √5

⇒ đường tròn cần tìm là: (x + 3)² + (y - 1)² = 5

Câu 6: Đường tròn (C) có tâm I thuộc đường thẳng d: x + 3y + 8 = 0, đi qua điểm
A( - 2 ;1) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 3x - 4y + 10 = 0. Phương trình của đường tròn (C) là:

A. (x - 2)² + (y + 2)² = 25    B. (x + 5)² + (y + 1)² = 16.

C. (x + 2)² + (y + 2)² = 9    D. (x - 1)² + (y + 3)² = 25.

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

+ Dễ thấy điểm A thuộc ∆. Mà đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn nên tâm I của đường tròn nằm trên đường thẳng (a) qua A vuông góc với ∆.

+ Đường thẳng(a):

⇒ Phương trình đường thẳng (a) : 4( x + 2) + 3(y - 1) = 0 hay 4x + 3y + 5 = 0

+ Đường thẳng (a) và d cắt nhau tại I nên tọa độ điểm là nghiệm hệ phương trình:

⇒ I( 1; - 3)

Bán kính đường tròn là R = IA = = 5

Vậy phương trình đường tròn là: ( x - 1)² + (y + 3)² = 25

Câu 7: Đường tròn ( C) có tâm I thuộc đường thẳng d: x + 5y - 12 = 0 và tiếp xúc với hai trục tọa độ có phương trình là:

A. (x - 2)² + (y - 2)² = 4 .

B. (x - 3)² + (y + 3)² = 9.

C. (x - 2)² + (y - 2)² = 4 hoặc ( x - 3)² + (y + 3)² = 9 .

D. (x - 2)² + (y - 2)² = 4 hoặc (x + 3)² + (y - 3)² = 9.

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

Do tâm I thuộc đường thẳng d nên tọa độ I(12 - 5a ;a).

Hai trục tọa độ có phương trình là x = 0 và y = 0.

Do đường tròn ( C) tiếp xúc với hai trục tọa độ nên :R = d(I ; Ox) = d(I ; Oy)

⇔ R = |a| = |12 - 5a|

⇔

+ Với a = 2 thì tâm đường tròn là I( 2 ;2) và bán kính R = 2

⇒ Phương trình đường tròn : ( x - 2)² + (y - 2)² = 4

+ Với a = 3 thì tâm đường tròn là I ( - 3 ; 3) và bán kính R = 3

⇒ Phương trình đường tròn là ( x + 3)² + (y - 3)² = 9

Vậy phương trình các đường tròn là : (x - 2)² + (y - 2)² = 4 hoặc ( x + 3)² + (y - 3)² = 9

Câu 8: Đường tròn (C) có tâm I thuộc đường thẳng ∆ : x = 5 và tiếp xúc với hai đường thẳng d₁: 3x - y + 3 = 0; d₂: x - 3y + 9 = 0 có phương trình là:

A. (x - 5)² + (y + 2)² = 40 hoặc (x - 5)² + (y - 8)² = 10

B. (x - 5)² + (y + 2)² = 40

C. (x - 5)² + (y - 8)² = 10

D. (x - 5)² + (y - 2)² = 40 hoặc (x - 5)² + (y + 8)² = 10

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

Ta có điểm I thuộc đường thẳng ∆ nên I(5; a).

Do đường tròn ( C) tiếp xúc hai trục tọa độ nên : R = d(I; d₁) = d( I;d₂)

⇔ ⇔ |18 - a| = |14 - 3a|

⇔

+ Với a = - 2 thì tâm I ( 5; - 2) và bán kính R = d(I; d₁) = 2√10

⇒ Phương trình đường tròn là : (x - 5)² + (y + 2)² = 40

+ Với a = 8 thì tâm I(5; 8) và bán kính R = √10

⇒ Phương trình đường tròn là : ( x - 5)² + (y - 8)² = 10

Vậy phương trình các đường tròn: (x - 5)² + (y - 8)² = 10 hoặc (x - 5)² + (y + 2)² = 40

Câu 9: Đường tròn (C) đi qua điểm A(1; - 2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x - y + 1 = 0 tại M( 1; 2). Phương trình của đường tròn ( C) là:

A. (x - 6)² + y² = 29    B. (x - 5)² + y² = 20

C. (x - 4)² + y² = 13    D. (x – 3)² + y² = 8

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

+ Do đường tròn ( C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại điểm M nên tâm I của đường tròn nằm trên đường thẳng (a) qua M vuông góc với ∆.

Phương trình đường thẳng (a):

⇒ Phương trình (a): 1( x - 1) + 1( y - 2) = 0 hay x + y - 3 = 0

+ Tâm I thuộc đường thẳng (a) nên I(x; 3 - x)

Vì hai điểm M và A thuộc đường tròn nên R = IA = IM

⇔ IA² = IM² ⇔ ( x - 1)² + (3 - x + 2)² = (x - 1)² + (3 - x - 2)²

⇔ (5 - x)² = (1 - x)² ⇔ 25 - 10x + x² = 1 - 2x + x²

⇔8x = 24 ⇔ x = 3

⇒ Tâm đường tròn là I (3;0) và bán kính R = IA = = 2√2

⇒ Phương trình đường tròn là : ( x - 3)² + y² = 8

Câu 10: Đường tròn ( C) đi qua hai điểm A(1;2); B( 3; 4) và tiếp xúc với đường thẳng
∆: 3x + y - 3 = 0. Viết phương trình đường tròn ( C), biết tâm của (C) có tọa độ là những số nguyên.

A. x² + y² - 2x + 4y - 1 = 0    B. x² + y² - 6x – 4y + 5 = 0

C. x² + y² - 8x - 2y - 10 = 0    D. x² + y² - 8x - 2y + 7 = 0

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

+ Phương trình đường thẳng AB:

⇒ Phương trình AB: 1( x - 1) – 1( y - 2) = 0 hay x - y + 1 = 0.

+ Do A và B thuộc đường tròn nên IA = IB trong đó I là tâm đường tròn

⇒ I thuộc đường trung trực d của AB .

+ Phương trình đường trung trực d của AB:

⇒ (d): 2( x - 2) + 2( y - 3) = 0 hay x + y - 5 = 0

Điểm I thuộc d nên I(a; 5 - a) với a nguyên

+ Do đường tròn tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên R = IA = d( I;∆)

⇔

⇔ 10[ (a - 1)² + (3 - a)² ] = (2a + 2)²

⇔ 10( 2a² - 8a + 10) = 4a² + 8a + 4

⇔ 20a² – 80a + 100 = 4a² + 8a + 4

⇔16a² - 88a + 96 = 0 ⇔

Với a = 4 thì tâm đường tròn là I(4; 1) và bán kính R = IA = √10

Vậy phương trình đường tròn là: (x - 4)² + (y - 1)² = 10 hay x² + y² - 8x - 2y + 7 = 0

Câu 11: Cho đường tròn ( C) : x² + y² - 2x + 6y + 6 = 0 và đường thẳng
d: 4x - 3y + 5 = 0. Đường thẳng d’ song song với đường thẳng d và chắn trên ( C) một dây cung có độ dại bằng 2√3 có phương trình là

A. 4x - 3y + 8 = 0.    B. 4x - 3y - 8 = 0 hoặc 4x - 3y – 18 = 0

C. 4x - 3y - 8 = 0.    D. Tất cả sai

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

+ Đường tròn ( C) có tâm I(1; -3) và bán kính R = 2 .

+ Do đường thẳng d’ // d: 4x - 3y + 5 = 0 nên đường thẳng d’ có dạng 4x - 3y + m = 0
( m ≠ 5) .

Giả sử đường thẳng d’cắt đường tròn tại M và N.

Vẽ IH ⊥ MN ⇒ HM = √3 ⇒ IH² = R² - HM² = 4 - 3 = 1 .

⇒ IH = 1.

d(I, d') = IH ⇔ = 1 ⇔ |m + 13| = 5 ⇔

Vậy: .