Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng - Toán lớp 10

---

Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng

Với Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình đường tròn C’ đối xứng với đường tròn C qua 1 điểm, 1 đường thẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

A. Phương pháp giải

Cho đường tròn (C₁): tâm I₁( x₁; y₁); bán kính R₁.

Đường tròn (C₂): tâm I₂(x₂; y₂); bán kính R₂.

+ Để hai đường tròn này đối xứng với nhau qua điểm M thì M là trung điểm của I₁I₂ và R₁ = R₂.

* Nếu cho trước đường tròn ( C₁) có tâm I₁ bán kính R và điểm M. Để viết được phương tròn ( C₂ ) đối xứng với đường tròn (C₁) qua M ta cần làm như sau:

- Bước 1: Tìm điểm I₂ đối xứng với I₁ qua M ( khi đó M là trung điểm I₁I₂).

- Bước 2: Đường tròn ( C₂) tâm I₂ và bán kính là R.

⇒ Phương trình đường tròn (C₂).

* Cho đường tròn (C₁) tâm I₁ bán kính R và đường thẳng d. Để viết được đường tròn (C₂) đối xứng với đường tròn (C₁) qua d ta cần:

- Bước 1: Xác định điểm I₂ đối xứng điểm I₁ qua d.

- Bước 2: Lập phương trình đường tròn ( C₂) tâm I₂ và bán kính R

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai đường tròn ( C₁): tâm I₁(1; -2) bán kính R₁ = 2 và đường tròn (C₂):
Tâm I₂( 3; 2) bán kính R₂ = 2. Tìm tâm phép đối xứng của đường tròn (C₁) và ( C₂)?

A. M(2; 0)    B. M(4; 0)    C. M( 2; 4)    D. M (-2; -4)

Lời giải

Do hai đường tròn đã cho có R₁ = R₂ nên tồn tại điểm M để qua điểm M biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Khi đó, M là trung điểm của I₁I₂. Suy ra tọa độ điểm M là:

⇒ M( 2 ; 0)

Vậy qua điểm M (2; 0) biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Chọn A.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C₂) đối xứngvới đường tròn
(C₁): x² + y² - 2x = 0. Qua điểm A( 2; -1) ?

A. (x + 3)² + (y - 2)² = 1    B. (x - 3)² + (y - 2)² = 1

C. (x - 3)² + (y + 2)² = 1    D. (x + 3)² + (y + 2)² = 1

Lời giải

+ Đường tròn ( C₁) có tâm I₁ (1; 0) và bán kính R₁ = 1.

+ Do đường tròn (C₂) đối xứng với đường tròn (C₁) qua điểm A nên hai tâm của hai đường tròn đối xứng với nhau qua điểm A đồng thời R₁ = R₂ = 1.

+ Gọi I₂ là tâm của đường tròn ( C₂) thì tọa độ điểm I₂:

⇒ I₂( 3; -2)

⇒ Phương trình đường tròn ( C₂): (x - 3)² + (y + 2)² = 1

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho đường tròn ( C₁): x² + y² - 8x - 4y - 5 = 0 và điểm M. Qua phép đối xứng tâm M biến đường tròn ( C₁) thành đường tròn ( C₂) có bán kính R₂ . Tính R₂?

A. 1    B. 3    C. 5    D. 10

Lời giải

Đường tròn ( C₁) có tâm I₁( 4; 2) và bán kính R₁ = = 5

Qua đối xứng tâm M biến đường tròn ( C₁) thành đường tròn (C₂)

⇒ Hai đường tròn này có cùng bán kính và hai tâm đối xứng với nhau qua điểm M

⇒ bán kính R₂ = R₁ = 5.

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho đường tròn ( C₁): x² + y² + 2x - 4y - 1 = 0 và đường tròn
( C₂): x² + y² - 2x + 6y - 2 = 0. Tìm tâm phép đối xứng biến ( C₁) thành ( C₂)?

A. ( 1; - 2)    B. ( 2; 3)    C. Không tồn tại    D. Tất cả sai

Lời giải

+ Đường tròn ( C₁) có tâm I₁ (-1; 2) và bán kính R₁ = √6.

+ Đường tròn (C₂) có tâm I₂(1; -3) và bán kính R₂ = √12

⇒ R₁ ≠ R₂.

⇒ Không có phép đối xứng tâm biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho đường tròn ( C₁): x² + y² + 2x - 6y - 4 = 0 và đường thẳng d: x - 2y - 3 = 0. Viết phương trình đường tròn ( C₂) đối xứng với đường tròn ( C₁) qua d?

A. (x + 3)² + (y - 3)² = 14    B. (x - 2)² + (y - 5)² = 14

C. (x - 1)² + (y + 4)² = 14    D. (x - 3)² + (y + 5)² = 14

Lời giải

+ Đường tròn (C₁) có tâm I₁( - 1; 3) và bán kính R₁ = √14

+ Giả sử đường tròn ( C₂) có tâm I₂ và bán kính R₂.

+ Do hai đường tròn ( C₁) và (C₂) đối xứng với nhau qua đường thẳng d nên:

R₂ = R₁ = √14 và hai tâm I₁, I₂ đối xứng nhau qua đường thẳng d.

+ Ta tìm điểm I₂.

- Đường thẳng I₁I₂:

⇒ Phương trình I₁I₂: 2(x + 1) + 1(y - 3) = 0 hay 2x + y - 1 = 0.

- Gọi giao điểm của d và I₁I₂ là H ⇒ H( 1; - 1).

Khi đó; H là trung điểm của I₁I₂ nên tọa độ điểm I₂:

⇒ I₂( 3; -5)

⇒ Phương trình đường tròn ( C₂): (x - 3)² + (y + 5)² = 14

Chọn D.

Ví dụ 6: Cho đường tròn (C₁): x² + y² + 8x - 10y - 10 = 0 và đường thẳng d: 5x + 4y = 0. Viết phương trình đường tròn (C₂) đối xứng với đường tròn ( C₁) qua đường thẳng d?

A. x² + y² + 10x - 10y - 10 = 0    B. x² + y² + 20x - 10y - 10 = 0

C. x² + y² - 10x - 20y - 15 = 0    D. x² + y² + 20x + 10y - 15 = 0

Lời giải

+ Đường tròn (C₁): tâm I₁( -4; 5).

Ta thấy điểm I₁ thuộc đường thẳng d nên phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn (C₁) thành chính nó.

⇒ (C₂) ≡ (C₁): x² + y² + 8x - 10y - 10 = 0.

Chọn A.

Ví dụ 7: Cho đường tròn ( C₁): x² + y² - 10x - 20y - 15 = 0 và điểm A(5; 10). Viết phương trình đường tròn (C₂) đối xứng với đường tròn (C₁) qua điểm A?

A. x² + y² - 10x + 20y - 15 = 0    B. x² + y² + 10x - 20y - 15 = 0

C. x² + y² - 10x - 20y - 15 = 0    D. Tất cả sai

Lời giải

+ Đường tròn ( C₁) có tâm I₁(5;10)

⇒ Điểm I₁ ≡ A.

⇒ Qua đối xứng tâm A biến điểm I₁ thành chính nó nên biến đường tròn C₁ thành chính nó.

⇒ (C₂) ≡ (C₁): x² + y² - 10x - 20y - 15 = 0.

Chọn C

Ví dụ 8: Cho đường tròn (C₁): x² + y² - 4x - 6y - 2 = 0 và đường thẳng d: 3x - 4y - 9 = 0. Phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn ( C₁) thành đường tròn ( C₂). Tính I₁I₂ trong đó I₁; I₂ lần lượt là tâm của hai đường tròn ( C₁); (C₂)?

A. 5    B. 6    C. 3    D. 10

Lời giải

+ Đường tròn ( C₁) có tâm I₁(2;3).

+ Khoảng cách từ I₁ đến đường thẳng d:

d(I₁; d) = = 3

+ Do hai đường tròn đối xứng với nhau qua đường thẳng d nên d là đường trung trực của I₁I₂. Gọi H là giao điểm của I₁I₂ với đường thẳng d

⇒ d(I₁;d) = I₁H = I₂H = 3

⇒ I₁I₂ = I₁H + HI₂ = 3 + 3 = 6

Chọn B

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hai đường tròn ( C₁): tâm I₁(3; 8) bán kính R₁ = 6 và đường tròn (C₂): Tâm I₂( -7; 4) bán kính R₂ = 6. Tìm tâm phép đối xứng của đường tròn (C₁) và ( C₂)?

A. M(2; 0)    B. M(4; 0)    C. M( -2; 6)    D. M (-2; -4)

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Do hai đường tròn đã cho có R₁ = R₂ nên tồn tại điểm M để qua điểm M biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Khi đó, M là trung điểm của I₁I₂. Suy ra tọa độ điểm M là:

⇒ M( - 2; 6)

Vậy qua điểm M (-2; 6) biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Câu 2: Viết phương trình đường tròn (C₂) đối xứngvới đường tròn (C₁): x² + y² + 4y = 0 Qua điểm A(0; 4) ?

A. (x + 3)² + (y - 2)² = 4    B. (x - 3)² + (y - 2)² = 4

C. x² + (y - 10)² = 4    D. (x + 3)² + y² = 4

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

+ Đường tròn ( C₁) có tâm I₁ (0; -2) và bán kính R₁ = 2.

+ Do đường tròn (C₂) đối xứng với đường tròn (C₁) qua điểm A nên hai tâm của hai đường tròn đối xứng với nhau qua điểm A đồng thời R₁ = R₂ = 2.

+ Gọi I₂ là tâm của đường tròn ( C₂) thì tọa độ điểm I₂:

⇒ I₂( 0; 10)

⇒ Phương trình đường tròn ( C₂): x² + (y - 10)² = 4

Câu 3: Cho đường tròn ( C₁): x² + y² - 2x + 8y - 8 = 0 và điểm M. Qua phép đối xứng tâm M biến đường tròn ( C₁) thành đường tròn ( C₂) có bán kính R₂. Tính R₂?

A. 1    B. 3    C. 5    D. 10

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Đường tròn ( C₁) có tâm I₁(1; -4) và bán kính R₁ = = 5

Qua đối xứng tâm M biến đường tròn ( C₁) thành đường tròn (C₂)

⇒ Hai đường tròn này có cùng bán kính và hai tâm đối xứng với nhau qua điểm M

⇒ bán kính R₂ = R₁ = 5.

Câu 4: Cho đường tròn (C₁): x² + y² + 8y - 2 = 0 và đường tròn
(C₂): x² + y² + 2x - 4y - 1 = 0. Tìm tâm phép đối xứng biến ( C₁) thành ( C₂)?

A. ( 1;-2)    B. ( 2; 3)    C. Không tồn tại    D. Tất cả sai

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

+ Đường tròn ( C₁) có tâm I₁ (0; -4) và bán kính R₁ = √18

+ Đường tròn (C₂) có tâm I₂(-1; 2) và bán kính R₂ = √6

⇒ R₁ ≠ R₂.

⇒ Không có phép đối xứng tâm biến đường tròn này thành đường tròn kia.

Câu 5: Cho đường tròn ( C₁): x² + y² + 4x - 4y - 1 = 0 và đường thẳng d: 2x - y - 3 = 0. Viết phương trình đường tròn ( C₂) đối xứng với đường tròn ( C₁) qua d?

A. (x + 3)² + (y - 3)² = 9    B. (x - 2)² + (y - 5)² = 9

C. (x - )² + (y + )² = 9    D. ( x - )² + (y + )² = 9

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

+ Đường tròn (C₁) có tâm I₁(-2; 2) và bán kính R₁ = 3

+ Giả sử đường tròn ( C₂) có tâm I₂ và bán kính R₂.

+ Do hai đường tròn ( C₁) và (C₂) đối xứng với nhau qua đường thẳng d nên:

R₂ = R₁ = 3 và hai tâm I₁, I₂ đối xứng nhau qua đường thẳng d.

+ Ta tìm điểm I₂.

- Đường thẳng I₁I₂:

⇒ Phương trình I₁I₂: 1( x + 2) + 2(y - 2) = 0 hay x + 2y - 2 = 0

- Gọi giao điểm của d và I₁I₂ là H ⇒ H( ; ).

Khi đó; H là trung điểm của I₁I₂ nên tọa độ điểm I₂:

⇒ I₂( ; - )

⇒ Phương trình đường tròn ( C₂): (x - )² + (y + )² = 9

Câu 6: Cho đường tròn (C₁): x² + y² + 4x - 4 = 0 và đường thẳng d: x + y + 2 = 0. Viết phương trình đường tròn (C₂) đối xứng với đường tròn ( C₁) qua đường thẳng d?

A. x² + y² + 4y - 4 = 0    B. x² + y² + 2x - 2y - 6 = 0

C. x² + y² + 4x - 4 = 0    D. x² + y² + 20x + 10y - 15 = 0

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

+ Đường tròn (C₁): tâm I₁ (- 2; 0)

Ta thấy điểm I₁ thuộc đường thẳng d nên phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn (C₁) thành chính nó.

⇒ (C₂) ≡ (C₁): x² + y² + 4x - 4 = 0.

Câu 7: Cho đường tròn ( C₁): x² + y² + 12x - 8y - 1 = 0 và điểm A(-6; 4). Viết phương trình đường tròn (C₂) đối xứng với đường tròn (C₁) qua điểm A?

A. x² + y² + 14x + 8y - 1 = 0    B. x² + y² - 12x + 8y - 1 = 0

C. x² + y² + 12x - 8y - 1 = 0    D. Tất cả sai

Lời giải:

Đáp án:

Trả lời:

+ Đường tròn ( C₁) có tâm I₁(-6; 4)

⇒ Điểm I₁ ≡ A.

⇒ Qua đối xứng tâm A biến điểm I₁ thành chính nó nên biến đường tròn C₁ thành chính nó.

⇒ (C₂) ≡ (C₁): x² + y² + 12x – 8y - 1 = 0.

Câu 8: Cho đường tròn (C₁): x² + y² – 6x + 2y - 1 = 0 và đường thẳng
d: 3x + 4y + 10 = 0. Phép đối xứng qua đường thẳng d biến đường tròn ( C₁) thành đường tròn ( C₂). Tính I₁I₂ trong đó I₁; I₂ lần lượt là tâm của hai đường tròn ( C₁); (C₂)?

A. 5    B. 6    C. 3    D. 10

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

+ Đường tròn ( C₁) có tâm I₁(3; -1).

+ Khoảng cách từ I₁ đến đường thẳng d:

d(I₁; d) = = 3

+ Do hai đường tròn đối xứng với nhau qua đường thẳng d nên d là đường trung trực của I₁I₂. Gọi H là giao điểm của I₁I₂ với đường thẳng d

⇒ d(I₁;d) = I₁H = I₂H = 3

⇒ I₁I₂ = I₁H + HI₂ = 3 + 3 = 6