Lý thuyết tổng hợp chương Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng hay, chi tiết - Toán lớp 10

---

Lý thuyết tổng hợp chương Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng hay, chi tiết

Tài liệu Lý thuyết tổng hợp chương Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng hay, chi tiết Toán lớp 10 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về tổng hợp chương Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 10.

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0^o đến 180^o

1. Tính chất

Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu ∠ xOM = α thì ∠xON = 180^o – α. Ta có yM = yN = y^o, xM = –xN = x^o. Do đó

sin α = sin(180^o – α)

cos α = –cos(180^o – α)

tan α = –tan(180^o – α)

cot α = –cot(180^o – α)

2. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Trong bảng kí hiệu “||” để chỉ giá trị lượng giác không xác định.

Chú ý. Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.

Chẳng hạn:

sin 120^o = sin(180^o – 60^o) = sin60^o =

cos 135^o = cos(180^o – 45^o) = –cos45^o = -

3. Góc giữa hai vectơ

a) Định nghĩa

Cho hai vectơ đều khác vectơ 0 .Từ một điểm O bất kì ta vẽ Góc ∠AOB với số đo từ 0^o đến 180^o được gọi là góc giữa hai vectơ . Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ là

Nếu ( ) = 90^o thì ta nói rằng vuông góc với nhau, kí hiệu là

b) Chú ý. Từ định nghĩa ta có .

1. Định nghĩa

Cho hai vectơ và đều khác vectơ . Tích vô hướng của và là một số, kí hiệu là . được xác định bởi công thức sau:

Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ và bằng vectơ

ta quy ước:

Chú ý

+) Với và khác vectơ ta có:

+) Khi = tích vô hướng được kí hiệu là và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ

Ta có:

2. Các tính chất của tích vô hướng

Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng:

Nhận xét. Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ , cho hai vectơ:

Khi đó tích vô hướng .

Nhận xét. Hai vectơ:

đều khác vectơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi: a₁b₁ + a₂b₂ = 0.

4. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ

Độ dài của vectơ = (a₁, a₂), được tính theo công thức:

b) Góc giữa hai vectơ

Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu = (a₁, a₂) và = (b₁, b₂) đều khác thì ta có:

c) Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) được tính theo công thức:

1. Định lí côsin

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b và AB = c

Ta có

a² = b² + c² – 2bc.cosA;

b² = c² + a² – 2ca.cosB;

c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Hệ quả

2. Định lí sin

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Ta có

3. Độ dài đường trung tuyến

Cho tam giác ABC có ma, mb, mc lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C.

Ta có

4. Công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có

+) ha, hb, hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB;

+) R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;

+) r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;

+) p = là nửa chu vi tam giác;

+) S là diện tích tam giác.

Khi đó ta có: