Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc - Toán lớp 10

---

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc

Với Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với d’ một góc từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

A. Phương pháp giải

Cho đường thẳng ∆ và điểm M(a; b). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với đường thẳng ∆ một góc α.

+ Cách 1:

    - Gọi n→(A; B) là VTPT của đường thẳng d.

    Tìm VTPT n'→( A’; B’) của đường thẳng ∆.

    - Do góc giữa đường thẳng d và ∆ bằng α nên:

    Cosα =

    Giải phương trình trên ta được A = k.B. Chọn A =.... ⇒ B..

⇒ VTPT của đường thẳng d

⇒ Phương trình đường thẳng d.

+ Cách 2:

    - Đường thẳng ∆ có hệ số góc k₁.

    - Giả sử đường thẳng d có hệ số góc k₂.

    - Do góc giữa hai đường thẳng d và ∆ là α nên :

    Tanα =

    Phương trình trên là phương trình ẩn k₂. Giải hệ phương trình ta được k₂

⇒ Phương trình đường thẳng d.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Cho đường thẳng d : 3x - 4y - 12 = 0. Phương trình các đường thẳng qua
M(2 ; -1) và tạo với d một góc là

A. 7x - y - 15 = 0 ; x + 7y + 5 = 0    B. 7x + y - 15 = 0 ; x - 7y + 5 = 0

C. 7x - y + 15 = 0 ; x + 7y - 5 = 0    D. 7x + y + 15 = 0 ; x - 7y - 5 = 0

Lời giải

Gọi n→( A , B) và A² + B² > 0 là véc tơ pháp tuyến của ∆

Đường thẳng d có VTPT n'→( 3 ; -4)

Ta có:

⇔ 7A² + 48AB - 7B² = 0 ⇔

+ Với B = 7A chọn A = 1 ; B = 7 ⇒ (d) : qua M(2 ; -1) và VTPT (1 ; 7)

⇒ Phương trình (d) : 1( x - 2) + 7( y + 1) = 0 hay x + 7y + 5 = 0

+ Với A = - 7B chọn A = 7 ; B = - 1 ⇒ (d) đi qua M( 2 ; -1) và VTPT ( 7 ; -1)

⇒ Phương trình (d) : 7( x - 2) – 1( y + 1) = 0 hay 7x - y - 15 = 0

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : x + 7y + 5 = 0 và 7x - y - 15 = 0.

Chọn A.

Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng (d) qua M( -1; 2) và tạo với trục Ox một góc 60⁰.

A. √3x - y + √3 + 2 = 0    B. √3x - y - √3 + 2 = 0

C. √3x - y + 2 = 0    D. √3x + y - √3 + 2 = 0

Lời giải

Do (d) tạo với trục Ox một góc 60⁰ nên có hệ số góc k = tan 60⁰ = √3.

Phương trình d là: y = √3(x + 1) + 2 ⇔ √3x - y + √3 + 2 = 0 .

Chọn A.

Ví dụ 3. Biết rằng có đúng hai giá trị của tham số k để đường thẳng d: y = kx tạo với đường thẳng ∆: y = x một góc 60⁰. Tổng hai giá trị của k bằng:

A. - 8    B. - 4    C. - 1    D. 1

Lời giải

Ta có đường thẳng d : y = kx ⇔ kx - y = 0 nên d nhận VTPT n_d→( k; -1)

Đường thẳng ∆ : y = x hay x - y = 0 nên ∆ nhận VTPT n_∆→( 1; -1)

Để hai đường thẳng này tạo với nhau góc 60⁰ thì:

( n_d→; n_∆→) = 60⁰ ⇒ cos(n_d→; n_∆→)= cos 60⁰

= cos60⁰ = ⇔ k² + 1 = 2k² + 4k + 2 ⇔ k² + 4k + 1 = 0

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt theo hệ thức Vi- et ta có: k₁ + k₂ = - 4

Chọn B.

Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(1;1) và tạo một góc 45⁰ với đường thẳng d: x - y + 90 = 0

A. x - 1 = 0    B. y - 1 = 0    C. x + y - 2 = 0    D. Cả A và B đúng

Lời giải

+ Đường thẳng d có VTPT n→(1; -1) .

+ Gọi VTPT của ∆ là n'→(a; b) .

+ Do góc giữa hai đường thẳng d và ∆ là 45⁰ nên:

cos45⁰ =

⇔ = |a - b| ⇔ a² + b² = a² - 2ab + b²

⇔ - 2ab = 0 ⇔ a = 0 hoặc b = 0

+ Nếu a = 0; chọn b = 1.

Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình ∆: 0(x - 1) + 1( y - 1) = 0 hay y - 1 = 0

+ Nếu b = 0; chọn a = 1.

Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình ∆: 1(x - 1) + 0( y - 1) = 0 hay x - 1 = 0

Chọn D.

Ví dụ 5: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(5; 1) và tạo thành một góc 45⁰ với đường thẳng d: y = -2x + 4

A. y = 3x - 10    B. y = 3x - 14    C. y = x +    D. Cả B và C đúng

Lời giải

Hệ số góc của đường thẳng d là k₁ = -2.

Gọi hệ số góc của đường thẳng ∆ là k₂.

Do góc giữa hai đường thẳng là 45⁰ nên :

Tan45⁰ = ⇔ 1 =

⇔

+ Với k₂ = ; đường thẳng ∆ qua M(5; 1) và hệ số góc k₂ nên có phương trình :

y= ( x - 5) + 1 hay y = x +

+ Với k₂ = 3 đường thẳng ∆ qua M(5; 1) và hệ số góc k₂ nên có phương trình :

y = 3( x - 5) + 1 hay y = 3x - 14

chọn D.

Ví dụ 6: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(2; 1) và tạo thành một góc 45⁰ với đường thẳng d: 2x + 3y + 4 = 0

A. y = -5x - 10    B. y = -5x + 11    C. y = x +    D. Cả B và C đúng

Lời giải

Hệ số góc của đường thẳng d là k₁= -

Gọi hệ số góc của đường thẳng ∆ là k₂.

Do góc giữa hai đường thẳng là 45⁰ nên :

Tan45⁰ = ⇔ 1 =

⇔

+ Với k₂ = ; đường thẳng ∆ qua M(2; 1) và hệ số góc k₂ nên có phương trình :

y = ( x - 2) + 1 hay y = x +

+ Với k₂ = -5 đường thẳng ∆ qua M(2; 1) và hệ số góc k₂ nên có phương trình :

y = - 5( x - 2) + 1 hay y = -5x + 11

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho đường thẳng d có phương trình: x - 2y + 5 = 0. Có mấy phương trình đường thẳng qua M(2; 1) và tạo với (d) một góc 45⁰.

A. 1    B. 2    C. 3    D. Không có.

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

Đường thẳng d có VTPT n_d→( 1; -2)

Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm; n→( A; B) là VTPT của ∆ (A² + B² ≠ 0)

Để ∆ lập với d một góc 45⁰ thì:

Cos45⁰ = ⇔ 2( A - 2B)² = 5( A² + B²)

⇔3A² + 8AB - 3B² = 0

Giả sử B ≠ 0 ⇒ 3. + 8. - 3 = 0 ⇔

+ Với A = -3B, chọn B = -1 thì A = 3 ta được phương trình ∆ qua M(2; 1) và VTPT
( 3; -1)

⇒ phương trình ∆: 3( x - 2) – 1(y - 1) = 0 hay 3x - y - 5 = 0.

+ Với B = 3A, chọn A = 1 thì B = 3 ta được phương trình ∆ qua M( 2; 1) và VTPT ( 1; 3)

⇒ Phương trình ∆: 1( x - 2) + 3( y - 1) = 0 hay x + 3y - 5 = 0

Câu 2: Cho đường thẳng (d) có phương trình: x + 3y - 3 = 0 . Viết phương trình đường thẳng qua A( -2; 0) và tạo với (d) một góc 45⁰.

A. 2x + y + 4 = 0 hoặc x + 2y + 2 = 0    B. 2x + y + 4 = 0 hoặc x + 2y + 2 = 0

C. 2x + y + 4 = 0 hoặc x - 2y + 2 = 0    D. 2x - y + 4 = 0 hoặc x - 2y + 2 = 0.

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Đường thẳng d có VTPT n_d→( 1; 3) .

Gọi là đường thẳng cần tìm; n→(A; B) là VTPT của ∆ (A² + B² ≠ 0)

Để ∆ lập với ( d) một góc 45⁰ thì:

cos45⁰ = ⇔ 2(A + 3B)² = 10(A² + B²) ⇔

+ Với A = 2B, chọn B = 1 thì A = 2 ta được phương trình ∆:

⇒(∆) : 2( x + 2) + 1( y - 0) = 0 hay 2x + y + 4 = 0.

+ Với B = -2A, chọn A = 1;B = - 2 ta được phương trình ∆:

⇒(∆): 1( x + 2) – 2( y - 0) = 0 hay x - 2y + 2 = 0 .

Câu 3: Cho hai đường thẳng d₁: 3x + 4y + 12 = 0 và d₂: . Tìm các giá trị của tham số a để d₁ và d₂ hợp với nhau một góc bằng 450.

A. a = hoặc a = -14    B. a = hoặc a = 3

C. a = 5 hoặc a = -14    D. a = hoặc a = 5

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

Ta có

Đường thẳng d₁ có VTPT n→( 3; 4) và đường thẳng d₂ có VTCP ( a; -2) nên có VTPT n'→( 2; a) .

Để góc giữa hai đường thẳng là 45⁰ thì:

|cos⁡( n→; n'→ ) | = cos45⁰ ⇔

⇔ ⇔ √2|6 + 4a| = 5.

⇔ 2( 36 + 48a + 16a²) = 25(4 + a²)

⇔ 72 + 96a + 32a² = 100 + 25a²

⇔ 7a² + 96a - 28 = 0 ⇔

Câu 4: Viết phương trình đường thẳng d qua N( 3; -2) và tạo với trục Ox một góc 45⁰.

A. x - y - 1 = 0    B. x + y - 1 = 0    C. x - y - 5 = 0    D. Tất cả sai

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Do (d) tạo với trục Ox một góc 45⁰ nên có hệ số góc của đường thẳng (d) là

k = tan 45⁰ = 1

Phương trình d là: y = 1( x - 3) – 2 hay x - y - 5 = 0

Câu 5: Đường thẳng ∆ đi qua giao điểm của hai đường thẳng (a) : 2x + y - 3 = 0 và
(b): x - 2y + 1 = 0 đồng thời tạo với đường thẳng (c): y - 1 = 0 một góc 45⁰ có phương trình:

A. 2x + y = 0 hoặc x - y - 1 = 0 .    B. x + 2y = 0 hoặc x - 4y = 0.

C. x - y = 0 hoặc x + y - 2 = 0 .    D. 2x + 1 = 0 hoặc x - 3y = 0.

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

+ Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng (a) và ( b) thì tọa độ điểm A là nghiệm hệ :

⇒ A( 1; 1)

+Ta có đường thẳng ( c) có VTPT n₁→( 0;1). Gọi VTPT của đường thẳng ∆ là n₂→( x; y)

Do góc giữa đường thẳng ∆ và đường thẳng (c) bằng 45⁰ nên :

|cos⁡( n₁→; n₂→ ) | = cos⁡45⁰

⇔ ⇔ x² + y² = 2y² ⇔ x² = y²

⇔

+ Nếu x = y thì chọn x = y = 1.

Đường thẳng ∆: nên phương trình ∆: 1( x - 1) + 1( y - 1) = 0

Hay x + y - 2 = 0.

+ Nếu x = -y. Chọn x = 1 thì y = -1

⇒ Đường thẳng ∆: nên phương trình ∆: 1( x - 1) - 1( y - 1) = 0

Hay x - y = 0.

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : x + y - 2 = 0 hoặc x - y = 0

Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm
A( 2; 0) và tạo với trục hoành một góc 45⁰.

A. Có duy nhất.    B. 2    C. Vô số.    D. Không tồn tại.

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

Cho đường thẳng d và một điểm A. Khi đó.

(i) Có duy nhất một đường thẳng đi qua A song song hoặc trùng hoặc vuông góc với d.

(ii) Có đúng hai đường thẳng đi qua A và tạo với d một góc α mà 0⁰ < α < 90⁰.

⇒ Có hai đường thẳng qua điểm A( 2; 0) và tạo với trục hoành một góc 45⁰.

Câu 7: Đường thẳng ∆ tạo với đường thẳng d : x + 2y - 6 = 0 một góc 45⁰. Tìm hệ số góc k của đường thẳng ∆.

A. k = hoặc k = -3    B. k = hoặc k = 3

C. k = - hoặc k = -3    D. k = - hoặc k = 3

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

+ Đường thẳng d: x + 2y - 6 = 0 có VTPT n_d→( 1; 2) .

+ Gọi đường thẳng ∆ có VTPT n_∆→( a; b) ( với a² + b² > 0)

⇒ Phương trình đường thẳng ∆: ax + by + c = 0

+Nếu a= 0 thì đường thẳng ∆: y + c’ = 0 nhưng khi đó góc giữa d và ∆ là:

cosφ = ⇒ φ ≠ 45⁰.

⇒ a = 0 không thỏa mãn

+ Với a ≠ 0 thì đường thẳng ∆: y = - x - nên hệ số góc k_∆ =

Để hai đường thẳng d và ∆ tạo với nhau góc 45⁰ thì :

= cos45⁰ = ⇔ 5(a² + b²) = 2a² + 8ab + 8b²

⇔ 3a² - 8ab - 3b² = 0 ⇔