Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng - Toán lớp 10

---

Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng

Với Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

A. Phương pháp giải

Cho 2 đường thẳng cắt nhau: (d₁) A₁x + b₁y + C₁ = 0 và (d₂): A₂x + B₂y + C₂ = 0.

Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng đó là:

Chú ý:

Cho đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0 và hai điểm A(x_A; y_A); B(x_B;y_B ).

Đặt f(x;y) = A_x + B_y + C:

+ A và B nằm về cùng một phía đối với ∆ ⇔ f(x_A; y_A). f(x_B; y_B) > 0

+ A và B nằm khác phía đối với ∆ ⇔ f(x_A; y_A). f(x_B; y_B) < 0

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng d: x + 2y + 3 = 0 và d’: 2x + y + 3 = 0. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là:

A. x + y = 0 và x – y + 4 = 0 .    B. x - y + 4 = 0 và x + y - 2 = 0 .

C. x + y + 2 = 0 và x - y = 0    D. x + y + 1 = 0 và x - y - 3 = 0 .

Hướng dẫn giải

Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là:

Vậy phương trình các đường phân giác tạo bởi d và d’ là :

x - y = 0 và x + y + 2 = 0

Chọn C.

Ví dụ 2. Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi 2 đường thẳng ∆₁: x + 2y - 3 = 0 và ∆₂: 2x – y + 3 = 0.

A. x + 3y - 2 = 0 và x = 3y.    B. 3x = - y và x - 3y - 6 = 0.

C. 3x + y = 0 và –x + 3y - 6 = 0.    D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Gọi M(x; y) là điểm thuộc đường phân giác tạo bởi 2 đường thẳng đã cho.

⇒ d(M,Δ₁) = d(M,Δ₂) ⇒

⇒ x + 2y - 3 = ± (2x - y + 3) ⇒

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB: 2x - y + 4 = 0; AC: x - 2y - 6 = 0 và hai điểm B; C thuộc Ox. Phương trình phân giác ngoài của góc BAC là

A. 3x - 3y - 2 = 0    B. x + y + 10 = 0    C. 3x + 3y + 2 = 0    D. x + y - 2 = 0

Hướng dẫn giải:

Do hai điểm B và C thuộc Ox nên tọa độ hai điểm đó là : B(-2; 0) và C(6; 0).

Gọi M( x; y) thuộc đường phân giác của góc BAC

Ta có: d(M, AB) = d(M, AC) ⇔ ⇔ |2x - y + 4| = |x - 2y - 6|

⇔

+ Xét vị trí của hai điểm B và C đối với đường thẳng x + y + 10 = 0.

Ta có : (-2 + 0 + 10).( 6 + 0 + 10) > 0 nên hai điểm B và C nằm cùng phía so với đường thẳng x + y + 10 = 0.

Suy ra đường thẳng x + y + 10 = 0 là đường phân giác ngoài của góc BAC.

Chọn B.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2) , B( 1; 2) và C(3; 6 ) . Phương trình đường phân giác trong của góc A là:

A. 2x + y - 2 = 0    B. x - 2y + 4 = 0    C. 2x + y - 4 = 0    D. Đáp án khác

Lời giải

+ Ta viết phương trình đường thẳng AB và AC:

Đường thẳng AB :

⇒ ( AB) : 0(x - 0) + 1(y - 2) = 0 hay y - 2 = 0

Đường thẳng AC :

⇒ ( AC) : 4(x - 0) – 3(y - 2) = 0 hay 4x - 3y + 6 = 0

Suy ra các đường phân giác góc A là:

⇔ |4x - 3y + 6| = 5|y - 2|

Đặt f( x; y) = x - 2y + 4

⇒ f( B).f( C) =( 1 - 2.2 + 4) ( 3 - 2.6 + 4) = -5 < 0

⇒ B và C nằm khác phía so với đường thẳng : x - 2y + 4 = 0.

suy ra đường phân giác trong góc A là x - 2y + 4 = 0

Chọn B.

Ví dụ 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A( 1; 5) ; B( -4; -5) và C( 4; -1) . Phương trình đường phân giác ngoài của góc A là:

A. y + 5 = 0    B. y - 5 = 0    C. x + 1 = 0    D. x - 1 = 0

Lời giải

+ Ta viết phương trình đường thẳng AB và AC:

Đường thẳng AB :

⇒ ( AB) : 2( x - 1) – 1.( y - 5) = 0 hay 2x - y + 3 = 0

Đường thẳng AC :

⇒ ( AC) : 2( x - 1) + 1( y - 5) = 0 hay 2x + y - 7 = 0

Suy ra các đường phân giác góc A là:

⇔ |2x - y + 3| = |2x + y - 7|

⇔

Đặt f( x; y) = y - 5

⇒ f(B).f(C) = ( -5 - 5).( -1 - 5) = 60 > 0

⇒ B và C nằm cùng phía so với đường thẳng : y - 5 = 0.

suy ra đường phân giác ngoài góc A là y - 5 = 0

Chọn B.

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d₁: 3x - 4y - 3 = 0 và d₂ : 12x + 5y - 12 = 0. Phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng d₁ và d₂ là:

A. 3x + 11y - 3 = 0    B. 11x - 3y - 11 = 0    C. 3x - 11y - 3 =0    D. 11x + 3y - 11 = 0

Lời giải

Các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng d₁ và d₂ là:

⇔ 13|3x - 4y - 3| = 5|12x + 5y - 12| .

Gọi I là giao điểm của d₁ và d₂; tọa độ I là nghiệm hệ

⇒ I( 1;0)

+ Gọi đường thẳng d: 3x + 11y - 3 = 0. Lấy điểm M(-10; 3) thuộc đường thẳng d.

Gọi H là hình chiếu của M lên d₁.

Ta có: IM = và

MH = d(M;d₁ ) = = 9

Suy ra

Suy ra d: 3x + 11y - 3 = 0 là đường phân giác góc tù nên đường phân giác góc nhọn là 11x - 3y - 11 = 0.

Chọn B.

Ví dụ 7. Cho đường thẳng d: 3x + 4y – 5 = 0 và 2 điểm A( 1; 3) ; B( 2; m) . Tìm m để A và B nằm cùng phía đối với d?

A. m < 0    B. m > -    C. m > 1    D. m = -

Hướng dẫn giải

Hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d khi và chỉ khi:

( 3 + 12 - 5)( 6 + 4m - 5) < 0 hay m > -

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB: x + y - 1 = 0;
AC: 7x - y + 2 = 0 và BC: 10x + y - 19 = 0. Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC.

A. 12x + 4y - 3 = 0    B. 2x + 6y + 7 = 0    C. 12x + 6y - 7 = 0    D. 2x - 6y +7 = 0

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

+ AB và BC giao nhau tại B nên tọa độ của B là nghiệm hệ :

⇒ B( 2; -1)

+ AC và BC cắt nhau tại C nên tọa độ C là nghiệm hệ:

⇒ C(1; 9)

+ Phương trình các đường phân giác góc A là:

Đặt f₁( x; y) = 2x - 6y + 7 ta có f₁(B) . f₁( C) < 0

Suy ra B và C nằm khác phía so với d₁ và cùng phía so với d₂.

Vậy phương trình đường phân giác trong góc A là: 2x - 6y + 7 = 0

Câu 2: Cho tam giác ABC có A(-2; -1); B(-1; 3) và C( 6; 1).Viết phương trình đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC.

A. x - y + 1 = 0    B. 5x + 3y + 9 = 0    C. 3x + 3y - 5 = 0    D. x + y + 3 = 0

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

+ Phương trình đường thẳng AB:

⇒ Phương trình AB: 4( x + 2) – 1( y + 1) = 0 hay 4x - y + 7 = 0

+ Phương trình đường thẳng AC:

⇒ Phương trình AC: 1( x + 2) - 4( y + 1) = 0 hay x - 4y – 2 = 0

+ Phương trình các đường phân giác góc A là:

Đặt f₁( x; y) = x + y + 3 ta có: f₁(B).f₁(C) > 0

Suy ra B và C nằm cùng phía so với d₁ và khác phía so với d₂.

Vậy phương trình đường phân giác ngoài góc A là: x + y + 3 = 0.

Câu 3: Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi đường thẳng
∆: x + y = 0 và trục hoành Ox.

A. (1 + √2)x + y = 0 ; x - (1 - √2)y = 0 .    B. (1 + √2)x + y = 0; x + (1 - √2)y = 0 .

C. (1 + √2)x - y = 0; x + (1 - √2)y = 0 .    D. Tất cả sai

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

Gọi M(x; y) là điểm thuộc đường phân giác

Theo đầu bài ta có: d( M; ∆) = d( M; Ox)

⇒ ⇔ |x + y| = √2|y|

⇔

Câu 4: Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi 2 đường thẳng ∆₁: x + 2y - 3 = 0 và ∆₂: 2x - y + 3 = 0 .

A. 3x + y = 0 và x - 3y = 0 .    B. 3x + y = 0 và x + 3y - 6 = 0.

C. 3x + y = 0 và – x + 3y - 6 = 0.    D. 3x + y + 6 = 0 và x - 3y - 6 = 0.

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Gọi M(x; y) là điểm thuộc đường phân giác

⇒ d(M; ∆₁) = d(M; ∆₂) ⇒

⇒ x + 2y - 3 = ±(2x - y + 3) ⇒

Câu 5: Cho hai đường thẳng d : x + 2y + 3 = 0 và d’ : 2x + y + 3 = 0. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là

A. x + y = 0 ; x - y + 2 = 0    B. x - y = 0 ; x + y + 2 = 0

C. x + y + 2 = 0 ; x - y = 0    D. x + y - 2 = 0 ; x - y - 1 = 0

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Ta có: M(x ; y) thuộc đường phân giác khi và chỉ khi :

d(M; d) = d(M; d') ⇔

⇔ |x + 2y + 3| = |2x + y + 3| ⇔

Câu 6: Cho tam giác ABC có A(1; -2); B( 2; 2) và C(5; -3). Viết phương trình đường phân giác trong xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC?

A. 5x + 3y + 1 = 0    B. 3x + 2y + 1 = 0    C. x + y + 1 = 0    D. 5x + 2y - 1 = 0

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

+Ta có: AB =

AC =

⇒ AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

⇒ Đường phân giác trong xuất phát từ A đồng thời là đường trung tuyến.

+ Gọi M là trung điểm BC; tọa độ M :

+ Đường thẳng AM:

⇒ Phương trình AM: 5( x - 1) + 3( y + 2) = 0 hay 5x + 3y + 1 = 0

Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; -1) ; B( -1;3) và C( 4; -1) . Phương trình đường phân giác ngoài của góc A là:

A. y + 5 = 0    B. x + 2y = 0    C. x + 1 = 0    D. 2x - y - 5 = 0

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

+ Ta viết phương trình đường thẳng AB và AC:

Đường thẳng AB :

⇒ ( AB) : 4(x - 2) + 3( y + 1) = 0 hay 4x + 3y - 5 = 0

Đường thẳng AC :

⇒ ( AC) : 0(x - 2) + 1( y + 1) = 0 hay y + 1 = 0

Suy ra các đường phân giác góc A là:

⇔ |4x + 3y - 5| = 5|y + 1|

⇔

Đặt f( x; y) = 2x - y - 5

⇒ f( B).f( C) = (- 2 - 3 - 5).( 2.4 + 1 - 5) = -40 < 0

⇒ B và C nằm khác phía so với đường thẳng 2x - y - 5 = 0

suy ra đường phân giác ngoài góc A là x + 2y = 0