Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác) - Toán lớp 10
Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác)
Với Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác) Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác) từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.
A. Phương pháp viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm
Cho đường tròn ( C) đi qua ba điểm A; B và C. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm:
1/ Bước 1: Gọi phương trình đường tròn là ( C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (*)
( với điều kiện a2 + b2 - c > 0).
2/ Bước 2: Do điểm A; B và C thuộc đường tròn nên thay tọa độ điểm A; B và C vào (*) ta được phương trình ba phương trình ẩn a; b; c.
3/ Bước 3: giải hệ phương trình ba ẩn a; b; c ta được phương trình đường tròn.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tâm của đường tròn qua ba điểm A( 2; 1) ; B( 2; 5) và C( -2; 1) thuộc đường thẳng có phương trình
A. x - y + 3 = 0. B. x + y - 3 = 0 C. x - y - 3 = 0 D. x + y + 3 = 0
Hướng dẫn giải
Phương trình đường tròn (C) có dạng:
x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0)
⇒ I( 0; 3)
Vậy tâm đường tròn là I( 0; 3) .
Lần lượt thay tọa độ I vào các phương trình đường thẳng thì chỉ có đường thẳng
x - y + 3 = 0 thỏa mãn.
Chọn A.
Ví dụ 2. Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A( 0; 4); B( 2; 4) và C( 4; 0)
A. (0; 0) B. (1; 0) C. (3; 2) D. (1; 1)
Hướng dẫn giải
Phương trình đường tròn (C) có dạng:
x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 –c > 0)
Do 3 điểm A; B; C thuộc (C) nên 
Vậy tâm I( 1; 1)
Chọn D.
Ví dụ 3. Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A(0; 4); B(3; 4); C(3; 0).
A. 5 B. 3 C. √6,25 D. √8
Hướng dẫn giải
Phương trình đường tròn (C) có dạng:
x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0)
Do 3 điểm A; B; C thuộc (C) nên 
Vậy bán kính R = 
= √6,25.
Chọn C.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có A(-2; 4); B(5; 5) và C(6; -2). Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là:
A. x2 + y2 - 2x - y + 20 = 0 B. (x - 2)2 + (y - 1)2 = 20
C. x2 + y2 - 4x - 2y + 20 = 0 D. x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0
Lời giải
Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác là ( C): x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (a2 + b2 - c > 0 )
Do ba điểm A; B và C thuộc đường tròn là:
Vậy đường tròn ( C) cần tìm: x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0
Chọn D.
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có A(1; -2); B(-3; 0); C(2; -2) . Biết tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( C). Tính bán kính đường tròn đó?
A. 5
B. 6
C. 
D. √37
Lời giải
Gọi tam giác nội tiếp đường tròn ( C) có phương trình là
x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (a2 + b2 - c > 0 )
Do ba điểm A; B và C thuộc đường tròn là:
⇒ Bán kính đường tròn ( C) là R = 
Chọn C.
Ví dụ 6: Tâm của đường tròn qua ba điểm A( 2; 1); B( 2; 5) ; C( -2; 1) thuộc đường thẳng có phương trình
A. x - y + 3 = 0 B. x - y - 3 = 0 C. x + 2y - 3 = 0 D. x + y + 3 = 0
Hướng dẫn giải
Gọi phương trình ( C) có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (a2 + b2 + c > 0 ) . Tâm I (a; b)
⇒ I(0; 3)
Lần lượt thế tọa độ I vào các phương trình để kiểm tra thì điểm I thuộc đường thẳng
x - y - 3 = 0
Chọn B.
Ví du 7: Cho tam giác ABC có A(2; 1); B( 3; 4) và C(-1; 2). Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính OI?
A. 
B. 2√2
C. √10
D. 
Lời giải
Ta có: AB→( 1; 3)và AC→(-3; 1 )
⇒ AB→. AC→ = 1.(-3) + 3.1 = 0
⇒ AB vuông góc AC nên tam giác ABC vuông tại A.
⇒ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền BC.
+ Tọa độ tâm I- trung điểm của BC là:
⇒ Khoảng cách OI = 
= √10
Chọn C.
Ví dụ 8 : Đường tròn nào dưới đây đi qua 2 điểm A(1 ; 0) ; B( 3 ; 4) ?
A. x2 + y2 + 8x - 2y - 9 = 0 B. x2 + y2 - 3x - 16 = 0
C. x2 + y2 - x + y = 0 D. x2 + y2 - 4x - 4y + 3 = 0
Hướng dẫn giải
Thay tọa độ hai điểm A và B vào các phương án:
Điểm B( 3; 4) không thuộc đường tròn A.
Điểm A(1; 0) không thuộc đường tròn B.
Điểm B(3; 4) không thuộc đường tròn C.
Điểm A; B cùng thuộc đường tròn D.
Chọn D.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Gọi I( a; b) tâm đường tròn đi qua 3 điểm A(1; 2) ;B( 0;4) và C(- 2; -1).
Tính a + b
A. -2 B. 0 C. 2 D. 4
Lời giải:
Đáp án: B
Trả lời:
Gọi phương trình đường tròn ( C) cần tìm có dạng:
x2 + y2 - 2ax – 2by + c= 0 (a2 + b2 - c > 0)
Do A, B , C thuộc đường tròn nên:
Vậy tâm đường tròn là I( 1 ; 1) và a + b = 0
Câu 2: Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A( -2; 4); B( 1; 0) và C ( 2;- 3)
A. 
B. 
C. √10
D. 
Lời giải:
Đáp án: B
Trả lời:
Gọi phương trình đường tròn ( C) đi qua 3 điểm A; B và C là:
x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 ( a2 + b2 - c > 0 )
Do A; B và C thuộc đường tròn ( C) nên :
Vậy bán kính đường tròn ( C): = 
=
Câu 3: Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A(0; 5) ;B( 3; 4) và C( -4; 3).
A. (-6; -2) B. (-1; -1) C. (3; 1) D. (0; 0)
Lời giải:
Đáp án: D
Trả lời:
Gọi đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C là
( C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 ( a2 + b2 - c > 0)
Do ba điểm A, B và C thuộc ( C) nên 
Vậy tâm của đường tròn ( C) là I(0; 0).
Câu 4: Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A(0 ; 0) ; B(0 ; 6) ; C( 8 ;0) .
A. 6 B. 5 C. 10 D. √5
Lời giải:
Đáp án: B
Trả lời:
Gọi đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C là :
( C): x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 ( a2 + b2 - c > 0 )
Do 3 điểm đó thuộc ( C) nên 
⇒ bán kính R = 
= 5
Câu 5: Đường tròn đi qua 3 điểm O(0; 0) ;A(a; 0) và B(0; b) có phương trình là
A. x2 + y2 - 2ax - by = 0 B. x2 + y2 - ax - by + xy = 0
C. x2 + y2 - ax - by = 0 D. x2 + y2 - ay + by = 0
Lời giải:
Đáp án: C
Trả lời:
Ta có : OA→( a; 0); OB→( 0; b) ⇒ OA→.OB→ = a.0 + 0.b = 0
⇒ Hai đường thẳng OA và OB vuông góc với nhau.
⇒ tam giác OAB vuông tại O nên tâm I của đường tròn đi qua 3 điểm O; A; B là trung điểm
I(
; 
) và bán kính R = 
Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm O; A; B là
⇔ x2 + y2 - ax - by = 0
Câu 6: Đường tròn đi qua 3 điểm A(11; 8) ; B(13; 8); C(14; 7) có bán kính R bằng
A. 2 B. 1 C. √5 D. √2
Lời giải:
Đáp án: C
Trả lời:
Gọi phương trình đường tròn cần tìm có dạng:
x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 ( với a2 + b2 - c > 0).
Đường tròn đi qua 3 điểm A(11; 8); B(13; 8) và C( 14; 7) nên ta có:
Ta có R =
= √5
Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A: B và C có bán kính là R = √5 .
Câu 7: Đường tròn đi qua 3 điểm A(1;2) ; B(-2; 3); C(4; 1) có tâm I có tọa độ là
A. (0; -1) B. (0; 0)
C. Không có đường tròn đi qua 3 điểm đã cho.
D. (3; 
)
Lời giải:
Đáp án: C
Trả lời:
Ta có: AB→ (3; -1), BC→ (6; -2) ⇒ BC→ = 2AB→
⇒ 3 điểm A, B và C thẳng hàng.
Vậy không có đường tròn qua 3 điểm A, B và C.
Câu 8: Cho tam giác ABC có A(2; 1); B( 5; 5) và C(1; 8). Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính OI?
A.
B. 
C. 
D. 
Lời giải:
Đáp án: C
Trả lời:
Ta có: AB→( 3; 4) và BC→( -4; 3)
⇒ AB→.BC→ = 3.(-4) + 4.3 = 0
⇒ AB vuông góc BC nên tam giác ABC vuông tại B.
⇒ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền AC.
+ Tọa độ tâm I- trung điểm của AC là:
⇒ Khoảng cách OI = 
