Xác định hệ số a, b, c khi biết các tính chất của hàm số bậc hai (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Xác định hệ số a, b, c khi biết các tính chất của hàm số bậc hai lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định hệ số a, b, c khi biết các tính chất của hàm số bậc hai.

Xác định hệ số a, b, c khi biết các tính chất của hàm số bậc hai (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (với a ≠ 0) là một parabol (P):

+ (P) có đỉnh I(x₀; y₀) ⇔ x₀ = –$\frac{b}{2a}$, y₀ = –$\frac{\Delta }{4a}$ (với ∆ = b² – 4ac) (hoặc y₀ = ax₀² + bx₀ + c);

+ (P) có trục đối xứng là đường thẳng x = x₀ ⇔ x₀ = –$\frac{b}{2a}$;

+ Bề lõm của (P) quay lên trên nếu a > 0, quay xuống dưới nếu a < 0;

+ (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng c, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; c).

Chú ý:

+ Nếu b = 2b' thì (P) có đỉnh I$\left(-\frac{b\text{'}}{a};-\frac{\Delta \text{'}}{a}\right)$ (với ∆' = (b')² – ac).

+ Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thì đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ (x₁; 0) và (x₂; 0).

+ Nếu M(x₀; y₀) ∈ (P) ⇔ y₀ = ax₀² + bx₀ + c.

+ Cho hàm số y = f(x) = ax² + bx + c có f(m) = n, f(k) = h, f(t) = z (với m, n, k, h, t, z là các số thực) thì ta thay lần lượt m, k, t vào f(x) và cho bằng n, h, k, giải hệ 3 phương trình 3 ẩn a, b, c để xác định a, b, c.

2. Ví dụ minh họa.

Ví dụ 1. Cho hàm số y = ax²  – 4x + c có đồ thị là parabol có bề lõm hướng xuống, đỉnh S(–2; 7) và cắt trục tung tại điểm (0; 3). Xác định các hệ số a, b, c của hàm số.

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số y = ax²  – 4x + c  có b = – 4.

Đồ thị hàm số là parabol có bề lõm hướng xuống nên ta có: a < 0

Đồ thị có đỉnh S(–2; 7) nên ta có: $\frac{-b}{2a}=-2\iff \frac{-(-4)}{2a}=-2\iff -4a=4\iff a=-1$ (thỏa mãn điều kiện).

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 3) nên ta có: c = 3

Vậy hàm số y = ax²  – 4x + c có a = –1; b = –4; c = 3.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = ax²  + bx + c có đồ thị là parabol trong hình dưới. Xác định các hệ số a, b, c.

Hướng dẫn giải:

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = ax²  + bx + c có bề lõm hướng lên, đỉnh S(1; 1) và cắt trục tung tại điểm (0; 2).

Do đó ta có:

a > 0 (1)

$-\frac{b}{2a}=1$ (2); $-\frac{\Delta }{4a}=1\iff -\frac{b^2-4ac}{4a}=1$(3)

c = 2 (4)

Thay (4) vào (3) ta có: $-\frac{b^2-4a.2}{4a}=1\iff -b^2+8a=4a\iff -b^2+4a=0$ (5)

Từ (2) ta có: b = –2a (6)

Thay (6) vào (5) ta có: –(–2a)² + 4a = 0 ⇔ –4a² + 4a = 0

⇔ 4a(–a + 1) = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}a=0\left(L\right)\\ a=1\left(TM\right)\end{array}\right.$

Với a = 1 ta có: b = –2.1 = –2

Vậy hàm số y = ax²  + bx + c  có a = 1, b = –2, c = 2.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho đồ thị hàm số y = ax²  + bx + c  trong hình vẽ sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng:

A. a > 0;

B. a = 0;

C. a < 0;

D. a ≠ 0.

Bài 2. Cho đồ thị hàm số y = ax²   trong hình vẽ sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. c > 0;

B. a < 0;

C. c = 0;

D. a = 0.

Bài 3. Cho đồ thị hàm số y = ax²  + bx + c  trong hình vẽ sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. c > 0;

B. a < 0;

C. $-\frac{b}{2a}$ < 0;

D. $-\frac{\Delta }{4a}$ < 0.

Bài 4. Cho parabol (P): y = ax²  + bx + c có trục đối xứng là đường thẳng x = 1.  

Khi đó 4a + 2b bằng:

A. – 1;

B. 0;

C. 1;

D. 2.

Bài 5. Xác định các hệ số a, b, c biết parabol có đồ thị hàm số y = ax²  + bx + c đi qua các điểm A(0; – 1), B(1; – 1), C(– 1; 1).

A. a = 1; b = – 1; c = – 1;

B. a = –  1; b = 1; c = 1;

C. a = 2; b = 1; c = 1;

D. a = 1; b = 1; c = – 1.

Bài 6. Cho parabol y = ax²  + bx + 4 có trục đối xứng là đường thẳng x = $\frac{1}{3}$ và đi qua điểm A(1; 3). Tổng giá trị a + 2b là

A. 1;

B. $\frac{1}{2}$;

C. – 1;

D. -$\frac{1}{2}$.

Bài 7. Cho đồ thị hàm số y = ax²  + bx + c  trong hình vẽ sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. c = –1;

B. a < 0;

C. $-\frac{b}{2a}$ = –1;

D. $\frac{\Delta }{4a}$ = –2.

Bài 8. Cho parabol (P): y = ax²  + bx + 2. Xác định hệ số a, b biết (P) có đỉnh I(2; – 2).

A. a = – 1; b = 4;

B. a = 1; b = 4;

C. a = 1; b = – 4;

D. a = 4; b = – 1.

Bài 9. Cho đồ thị hàm số y = ax²  + bx + c  trong hình vẽ sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. a = 1;

B. a = 2;

C. a = –2;

D. a = –3.

c = 2 (4)

Bài 10. Cho đồ thị hàm số y = ax²  + bx + c  trong hình vẽ sau:

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. a = –1; b = 4; c = 4;

B. a = –1; b = 4; c = –4;

C. a = 1; b = 4; c = –4;

D. a = –1; b = –4; c = –4.