Áp dụng công thức lượng giác vào bài toán rút gọn, chứng minh đẳng thức lượng giác lớp 11 (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo biên soan và sưu tầm trọn bộ chuyên đề phương pháp giải bài tập Áp dụng công thức lượng giác vào bài toán rút gọn, chứng minh đẳng thức lượng giác lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Áp dụng công thức lượng giác vào bài toán rút gọn, chứng minh đẳng thức lượng giác.

Áp dụng công thức lượng giác vào bài toán rút gọn, chứng minh đẳng thức lượng giác lớp 11 (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

a) Dạng toán rút gọn

Để làm tốt dạng toán rút gọn, ta cần nắm vững các công thức lượng giác đã học (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích), các giá trị lượng giác liên quan đến góc đặc biệt và các hằng đẳng thức lượng giác để biến đổi biểu thức ban đầu về dạng đơn giản, rút gọn hơn.

b) Dạng toán chứng minh đẳng thức lượng giác

Đối với bài toán chứng minh đẳng thức lượng giác, ta có thể lựa chọn một trong các cách biến đổi sau:

Cách 1: Dùng các công thức lượng giác, hệ thức lượng giác biến đổi vế này thành vế kia (vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái).

Cách 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết và luôn đúng.

Cách 3: Biến đổi đẳng thức đã biết luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức sau $A=\frac{\cos a+2cos2a+cos3a}{\sin a+\sin 2a+\sin 3a}$(giả sử biểu thức có nghĩa).

Hướng dẫn giải:

$A=\frac{\cos a+2cos2a+cos3a}{\sin a+\sin 2a+\sin 3a}$

$=\frac{\left(\cos a+cos3a\right)+2cos2a}{\left(\sin a+\sin 3a\right)+\sin 2a}$

$=\frac{2\cos 2a\cos a+2cos2a}{2\sin 2a\cos a+\sin 2a}$

$=\frac{2\cos 2a\left(\cos a+1\right)}{2\sin 2a\left(\cos a+1\right)}$

$=\frac{\cos 2a}{\sin 2a}=\cot 2a$.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi góc lượng giác a làm cho biểu thức xác định thì $\frac{1-\sin 2\alpha }{1+\sin 2\alpha }={\cot }^2\left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)$.

Hướng dẫn giải:

Ta có $\frac{1-\sin 2\alpha }{1+\sin 2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha }$

$=\frac{{\left(\sin \alpha -c\text{os}\alpha \right)}^2}{{\left(\sin \alpha +c\text{os}\alpha \right)}^2}$

$=\frac{{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}c\text{os}\alpha -\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha \right)}^2}{{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha +\frac{\sqrt{2}}{2}c\text{os}\alpha \right)}^2}$

$=\frac{{\left(cos\frac{\pi }{4}c\text{os}\alpha -\sin \frac{\pi }{4}\sin \alpha \right)}^2}{{\left(\sin \alpha cos\frac{\pi }{4}+c\text{os}\alpha \sin \frac{\pi }{4}\right)}^2}$

$=\frac{co{s}^2\left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)}{{\sin }^2\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)}={\cot }^2\left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)$.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giá trị biểu thức $\frac{\sin \frac{\pi }{15}cos\frac{\pi }{10}+\sin \frac{\pi }{10}cos\frac{\pi }{15}}{cos\frac{2\pi }{15}cos\frac{\pi }{5}-\sin \frac{2\pi }{15}\sin \frac{\pi }{5}}$bằng

A. 1;

B. −1;

C. $-\frac{3}{2}$;

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Bài 2. Cho góc a thỏa mãn $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$và $\sin \alpha =\frac{2}{3}$. Tính $P=\frac{1+\sin 2\alpha +cos2\alpha }{\sin \alpha +cos\alpha }$.

A. $P=-\frac{2\sqrt{5}}{3}$;

B. $P=\frac{3}{2}$ ;

C. $P=\frac{2\sqrt{5}}{3}$;

D. $P=-\frac{3}{2}$.

Bài 3. Đơn giản biểu thức $A=\frac{2co{s}^{2}x-1}{\sin x+\cos x}$ta được kết quả là

A. A = sinx – cosx;

B. A = cosx + sinx;

C. A = −sinx – cosx;

D. A = cosx – sinx.

Bài 4. Rút gọn biểu thức $P=\frac{\cos a-cos5a}{\sin 4a+\sin 2a}$với (sin4a + sin2a ≠ 0) ta được

A. P = 2cota;

B. P = 2cosa;

C. P = 2tana;

D. P = 2sina.

Bài 5. Rút gọn biểu thức $A=\frac{1+cos\alpha +cos2\alpha +cos3\alpha }{2co{s}^2\alpha +cos\alpha -1}$bằng

A. P = −2cosa;

B. P = cosa;

C. P = 2cosa;

D. P = 2sina.

Bài 6. Với điều kiện xác định, hãy rút gọn biểu thức

$A=\frac{{\left(tanx+\cot x\right)}^2-{\left(tanx-\cot x\right)}^2}{\cot x-tanx}$.

A. $A=\frac{2}{\cot 2x}$;

B. A = 4;

C. $A=\frac{4}{\cot 2x}$;

D. $A=\frac{8}{\cot 2x}$.

Bài 7. Biểu thức thu gọn của biểu thức $B=\left(\frac{1}{cos2x}+1\right)\cdot \tan x$là

A. cot2x;

B. tan2x;

C. cos2x;

D. sinx.

Bài 8. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?

A. $\sqrt{3}-2\cos x=4\sin \left(\frac{x}{2}+15°\right)\sin \left(\frac{x}{2}-15°\right)$;

B. ${\tan }^{2}x-3=\frac{4\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)}{{\text{cos}}^{2}x}$;

C. sin²7x – cos²5x = cos12xcos2x;

D. 1 + sinx + cosx = $2\sqrt{2}\text{cos}\frac{x}{2}cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4}\right)$.

Bài 9. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. $\frac{\tan 30°+\tan 40°+\tan 50°+\tan 60°}{cos20°}=\frac{4}{\sqrt{3}}$;

B. $cos\frac{\pi }{5}-cos\frac{2\pi }{5}=\frac{1}{2}$;

C. $cos\frac{\pi }{7}-cos\frac{2\pi }{7}+cos\frac{3\pi }{7}=\frac{1}{2}$;

D. $cos\frac{2\pi }{5}+cos\frac{4\pi }{5}+cos\frac{6\pi }{5}+cos\frac{8\pi }{5}=-1$.

Bài 10. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?

A. $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)cos\left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{2\sin 2x+\sqrt{3}}{4}$;

B. $\sin \frac{\pi }{5}\sin \frac{2\pi }{5}=\frac{1}{2}\left(cos\frac{\pi }{5}+cos\frac{2\pi }{5}\right)$;

C. $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)cos2x=\frac{1}{4}cos2x-\frac{1}{8}cos4x-\frac{1}{8}$;

D. 8cosxsin2xsin3x = 2(cos2x – cos4x – cos6x + 1).