Bài toán thực tế về công thức lượng giác lớp 11 (bài tập + lời giải)

---

Chuyên đề phương pháp giải Bài toán thực tế về công thức lượng giác lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm Bài toán thực tế về công thức lượng giác.

Bài toán thực tế về công thức lượng giác lớp 11 (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

Để làm tốt dạng bài này, ta cần linh hoạt sử dụng các công thức lượng giác đã học (công thức cộng lượng giác, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích), các giá trị lượng giác đặc biệt và các hằng đẳng thức lượng giác.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Một thiết bị trễ kĩ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một thiết bị như vậy nhận được nốt thuần f₁(t) = 5sint và phát lại được nốt thuần f₂(t) = 5cost thì âm kết hợp là f(t) = f₁(t) + f₂(t), trong đó t là biến thời gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin(t + φ), tức là âm kết hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm k và pha ban đầu j (−π ≤ φ ≤ π) của sóng âm.

Hướng dẫn giải:

Ta có f(t) = f₁(t) + f₂(t)

= 5sint + 5cost

= 5(sint + cost)

=$5\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin t+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos t\right)$

$=5\sqrt{2}\left(\sin tcos\frac{\pi }{4}+\cos t\sin \frac{\pi }{4}\right)$

$=5\sqrt{2}\sin \left(t+\frac{\pi }{4}\right)$.

Vậy  $k=5\sqrt{2}$ và $\phi =\frac{\pi }{4}$.

Ví dụ 2. Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức x(t) = Acos(ωt + φ), trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0) và φ ∈ [−π;π] là pha ban đầu của dao động. Xét hai dao động điều hòa có phương trình $x_1\left(t\right)=2cos\left(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6}\right)$(cm), $x_2\left(t\right)=2cos\left(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{3}\right)$(cm). Tìm dao động tổng hợp x(t) = x₁(t) + x₂(t) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

Hướng dẫn giải:

Có x(t) = x₁(t) + x₂(t) nên

$x\left(t\right)=2cos\left(\frac{\pi }{3}t+\frac{\pi }{6}\right)+2cos\left(\frac{\pi }{3}t-\frac{\pi }{3}\right)$

Vậy $A=2\sqrt{2}$ và $\phi =-\frac{\pi }{12}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông là AB = 4, BC = 3. Vẽ điểm D nằm trên tia đối của tia CB thỏa mãn $\widehat{CAD}=30°$ . Tính $\tan \widehat{BAD}$.

A.$\frac{3}{4}$ ;

B. $\frac{48-25\sqrt{3}}{39}$;

C.$\frac{48+25\sqrt{3}}{39}$ ;

D. $\frac{4}{3}$.

Bài 2. Dao động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình lần lượt là x₁ = 6cos100πt (mm) và x₂ = 6sin100πt (mm), (t tính bằng giây). Tính li độ của vật tại thời điểm t = 0,25 giây.

A. 6;

B. −6;

C. 12;

D. −12.

Bài 3. Cho hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình lần lượt là x₁ = 5cos(100πt + π) (cm) và $x_2=5cos\left(100\pi t-\frac{\pi }{2}\right)$(cm). Phương trình dao động tổng hợp của hai dao động trên là

A. $5\sqrt{2}cos\left(100\pi t+\frac{3\pi }{4}\right)$(cm);

B. $5\sqrt{2}cos\left(100\pi t-\frac{3\pi }{4}\right)$(cm);

C. $10cos\left(100\pi t-\frac{3\pi }{4}\right)$(cm);

D. $10cos\left(100\pi t+\frac{3\pi }{4}\right)$(cm).

Bài 4. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số theo các phương trình $x_1=2cos\left(5\pi t+\frac{\pi }{2}\right)$(cm); x₂ = 2cos5πt (cm). Biên độ của dao động tổng hợp của hai dao động trên là

A.2;

B. 4;

C. $2\sqrt{2}$;

D. $\sqrt{2}$.

Bài 5. Một sợi cáp R được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất 14 m. Một sợi cáp S khác cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất 12 m. Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với mặt đất tại một vị trí cách chân cột 15 m. Tính tanα (α là góc giữa hai sợi dây cáp trên).

A. $\frac{14}{15}$ ;

B. $\frac{12}{15}$ ;

C. $\frac{10}{131}$ ;

D. $\frac{130}{19}$ .

Bài 6. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình $x_1\left(t\right)=2\sqrt{3}\sin \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$và $x_2\left(t\right)=2cos\left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$ . Biết rằng phương trình dao động tổng hợp của vật đó x(t) = x₁(t) + x₂(t) viết được dưới dạng x(t) = Acos(ωt + φ). Xác định ω.

A. $\frac{\pi }{6}$;

B. $-\frac{\pi }{6}$ ;

C. 4π;

D. 4πt.

Bài 7. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình $x_1\left(t\right)=\sin \left(\pi t+\frac{\pi }{3}\right)$và  $x_2\left(t\right)=cos\left(\pi t+\frac{\pi }{3}\right)$. Phương trình dao động tổng hợp của vật x(t) = x₁(t) + x₂(t) được viết dưới dạng x(t) = Acos(ωt + φ), tức là dao động tổng hợp của vật đó là dao động điều hòa. Hãy xác định pha ban đầu φ (−π < φ < π) của dao động tổng hợp.

A. $\frac{\pi }{4}$ ;

B. $\frac{\pi }{12}$ ;

C.$\frac{5\pi }{12}$ ;

D. $-\frac{\pi }{4}$.

Bài 8. Hiệu điện thế và cường độ dòng điện trong một thiết bị điện lần lượt được cho bởi các biểu thức sau: u = 40sin(120πt) + 10sin(360πt) (V) và i = 4sin(120πt) + sin(360πt) (A).

(Nguồn: Ron Larson, Intermediate Algebra, Cengage)

Biết rằng công suất tiêu thụ tức thời của thiết bị đó được tính theo công thức P = u∙i (W). Hãy viết biểu thức biểu thị công suất tiêu thụ tức thời ở dạng không có lũy thừa và tích của các biểu thức lượng giác.

A. 85 − 40cos(240πt) − 40cos(480πt) – cos(720πt);

B. 85 − 40cos(240πt) − 40cos(480πt) – 5cos(360πt);

C. 80 − 40cos(240πt) − 40cos(480πt) – 5cos(720πt);

D. 85 − 40cos(240πt) − 40cos(480πt) – 5cos(720πt).

Bài 9. Một quả bóng golf kể từ lúc được đánh đến lúc chạm đất đã di chuyển được một khoảng cách d (m) theo phương nằm ngang. Biết rằng $d=\frac{v_0^2\sin 2\alpha }{g}$trong đó v₀ (m/s) là vận tốc ban đầu của quả bóng, g (m/s²) là gia tốc trọng trường và α là góc đánh quả bóng so với phương nằm ngang. Biết rằng v₀ = 15 (m/s); g = 10 (m/s²) và $\text{cos}\alpha \text{=}\frac{3}{5}$với (0 ≤ α ≤ 45°).

Khoảng cách d là

A. 20 cm;

B. $\frac{105}{6}$cm;

C. 25 cm;

D. $\frac{108}{5}$cm.

Bài 10. Tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông là AB = 6, BC = 3. Vẽ điểm D nằm trên tia đối của tia CB thỏa mãn $\widehat{CAD}=30°$. Tính CD (làm tròn kết quả đến số thập phân thứ nhất).

A. 6,1;

B. 6,02;

C. 6;

D. $\frac{4}{3}$.