Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng - Toán lớp 11

---

Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Với Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập đường thẳng song song với mặt phẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

A. Phương pháp giải

   + Để chứng minh một đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) ta chứng minh a // b trong đó b ⊂ mp(P)

   + Để chứng minh hai đường thẳng song song ta dùng tính chất đường trung bình của tam giác ; đường trung bình của hình thang hay định lí Talet đảo

   + Định lí: Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song hoặc đồng quy

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. MN // mp (ABCD)

B. MN // mp (SAB)

C. MN // mp (SCD)

D. MN // mp (SBC)

Lời giải

Xét tam giác SAC có M; N lần lượt là trung điểm của SA; SC

⇒ MN là đường trung bình của tam giác SAC

Suy ra: MN // AC mà AC ⊂ mp(ABCD) nên MN // mp (ABCD)

Chọn A

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M và N là hai điểm trên SA; SB sao cho: SM/SA = SN/SB = 1/3. Vị trí tương đối giữa MN và (ABCD) là:

A. MN nằm trên mp(ABCD)

B. MN cắt mp(ABCD)

C. MN song song mp(ABCD)

D. MN và mp(ABCD) chéo nhau

Lời giải

Theo định lí Talet, ta có: SM/SA = SN/SB suy ra MN song song với AB

Mà AB nằm trong mặt phẳng (ABCD) suy ra: MN // mp(ABCD)

Chọn C

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD; Q thuộc cạnh AB sao cho AQ = 2QB; gọi P là trung điểm của AB Khẳng định nào sau đây đúng?

A. MN // mp (BCD)

B. GQ // mp (BCD)

C. MN cắt (BCD)

D. Q thuộc mp(CDP)

Lời giải

Gọi M là trung điểm của BD

Vì G là trọng tâm tam giác ABD nên AG/AM = 2/3    (1)

Điểm Q thuộc AB thỏa mãn: AQ = 2QB nên AQ/AB = 2/3    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AG/AM = AQ/AB

⇒ GQ // BD (định lí Ta-let đảo)

Mặt khác BD nằm trong mặt phẳng (BCD) suy ra GQ // mp(BCD)

Chọn B

Ví dụ 4: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O; O₁ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF; gọi M là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai ?

A. OO₁ // mp (BEC)

B. OO₁ // mp (AFD)

C. OO₁ // mp (EFM)

D. MO₁ cắt mp (BEC)

Lời giải

   + Xét tam giác ACE có O; O1 lần lượt là trung điểm của AC; AE (tính chất hình hình hành)

Suy ra OO1 là đường trung bình trong tam giác ACE và OO₁ // EC.

Mà EC thuộc mp(BEC) và mp(EFC)

⇒ OO₁ // mp(BEC) và OO₁ // mp(EFC)

   + Tương tự; OO1 là đường trung bình của tam giác BFD nên OO₁ // FD

Mà FD nằm trong mp(AFD)

⇒ OO₁ // mp (AFD)

Chọn D

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N; P; Q; R; S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AC; BD; AB; CD; AD; BC. Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng?

A. P; Q; R; S

B. M; P; R; S

C. M; R; S; N

D. M; N; P; Q

Lời giải

   + Tam giác ABD có PS là đường trung bình nên PS // AB   (1)

   + Tam giác ABC có PQ là đường trung bình nên RQ // AB   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: PS // RQ nên 4 điểm P; R; Q; S đồng phẳng

   + Tương tự, ta có được PM // NQ // BD

suy ra 4 điểm P; M; N; Q đồng phẳng.

   + Và NR // AD // MS suy ra M; R: N; S đồng phẳng

Chọn B

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC; gọi G₁; G₂ lần lượt là trọng tâm tam giác SAC và SBC. Gọi M là trung điểm của SA. Đường thẳng nào song song với mp(ABC) ?

A. G₁M          B. G₂M            C. G₁G₂           D. G₁S

Lời giải

   + Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AC và BC.

   + Do G₁; G₂ lần lượt là trọng tâm tam giác SAC và SBC nên:

(SG₁)/SH = (SG₂)/SK = 2/3

⇒ G₁G₂ // HK

Mà HK ⊂ mp(ABC) nên G₁G₂ // mp(ABC)

Chọn C

Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD; lấy điểm M trên cạnh AB sao cho: AM/AB = 1/4. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho MN // mp(BCD). Tính tỉ số AN/NC?

A. 3           B. 1/3          C. 1/4          D. 4

Lời giải

   + Từ MN // mp(BCD) ta chứng minh MN // BC

   + Thật vậy; giả sử MN cắt BC tại P

Mà BC ⊂ mp(BCD)

⇒ Đường thẳng MN cắt mp(BCD) tại P

⇒ mâu thuẫn với MN// mp(BCD)

Vậy MN // BC

   + Xét tam giác ABC có: MN // BC

Chọn B

Ví dụ 8: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M; N; P và Q lần lượt là trung điểm của AB; CD; SA và SD. Mặt phẳng nào song song với đường thẳng MN?

A. (PBA)         B. (QCD)         C. (PQB)          D. (QAB)

Lời giải

   + Xét mp (ABCD) có M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD

⇒ MN là đường trung bình của hình bình hành

⇒ MN // AD // BC    (1)

   + Xét mp(SAD) có P và Q lần lượt là trung điểm của SA và SD.

⇒ PQ là đường trunh bình của tam giác SAD.

⇒ PQ // AD    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: PQ // MN // AD // BC

⇒ MN // mp(PQB)

Chọn C

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , I là trung điểm cạnh SC. Khẳng định nào sau đây SAI?

A. IO // mp(SAB)

B. IO // mp(SAD)

C. mp(IBD) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là một tứ giác

D. (IBD) ∩ (SAC) = IO

Lời giải:

Chọn C

   + Xét tam giác SAC có I và O lần lượt là trung điểm của SC và AC nên IO là đường trung bình của tam giác SAC

⇒ IO // SA

   + Ta có: mp(IBD) cắt hình chóp theo thiết diện là tam giác IBD nên C sai

   + Ta có: (IBD) ∩ (SAC) = IO nên D đúng.

Câu 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi G₁ và G₂ lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD. Chọn mệnh đề sai:

A. G₁G₂ // (ABD)

B. G₁G₂ // (ABC)

C. BG₁, AG₂ và CD đồng quy

D. G₁G₂ = (2/3)AB

Lời giải:

Chọn D

   + Do G₁ và G₂ lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD nên BG₁; AG₂ và CD đồng qui tại M (M là trung điểm của CD)

⇒ C đúng

   + Xét tam giác AMB có:

(MG₁)/MB = (MG₂)/MA = 1/3 (tính chất trọng tâm tam giác)

⇒ G₁G₂ // AB (định lí Ta let đảo)

⇒ A đúng

⇒ B đúng

Chọn D

Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (α) qua BD và song song với SA, mặt phẳng (α) cắt SC tại K. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. SK = 2KC      B. SK = 3KC        C. SK = KC       D. SK = (1/2)KC

Lời giải:

Chọn C

   + Gọi O là giao điểm của AC và BD

Do mặt phẳng (α) qua BD nên O ∈ (α)

   + Trong tam giác SAC, kẻ OK // SA (k ∈ SC)

   + Trong tam giác SAC ta có

là đường trung bình của ΔSAC

Vậy SK = KC

Câu 4: Cho tứ diện ABCD và M là điểm ở trên cạnh AC. Gọi mặt phẳng (α) qua và M song song với AB và CD. Mặt phẳng (α) cắt BC; BD; AD lần lượt tại N; P, Q. Tìm mệnh đề đúng?

A. PQ // mp(ABC)      B. MN // mp(ABD)     C. NP // (AQC)      D. PQ // BC

Lời giải:

Chọn D

   + Trên mp(ABC) kẻ MN // AB; N ∈ BC

   + Trên mp( BCD) kẻ NP // CD; P ∈ BD

⇒ (α) chính là mặt phẳng (MNP)

   + Ta tìm giao tuyến của mp( MNP) và ( ABD)

nên (MNP) ∩ (ABD) = PQ // MN // AB

⇒ PQ // mp(ABC); A đúng

   + theo cách dựng, MN // AB mà AB ⊂ (ABD)

⇒ MN // (ABD); B đúng

   + Theo cách dựng NP // CD mà CD ⊂ (AQC)

⇒ NP // mp(AQC); C đúng

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB; CD và SA. Gọi giao tuyến của mp(MNP) và mp(SAD) là PQ (Q ∈ SD). Tìm mặt phẳng song song với SC?

A. (APQ)        B. (BMQ)        C. (PNB)         D. (PQN)

Lời giải:

   + Xét tứ giác ABCD có M và N lần lượt là trung điểm của AB và DC

⇒ MN là đường trung bình của hình ABCD

⇒ MN // AD // BC

   + Xét giao tuyến của (MNP) và (SAD):

Trong mp(SAD); dựng Px // AD cắt SD tại Q

   + Ta có: PQ // AD và P là trung điểm của SA

⇒ Q là trung điểm của SD.

   + Xét mp(SCD) có N và Q lần lượt là trung điểm của CD; SD nên NQ // SC

Mà NP ⊂ mp(PQN) nên SC // mp(PQN)

Chọn D

Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = AB = a; SC = AC = 2a. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC và H là trực tâm tam giác SAB. Gọi M là trung điểm SA và N là trung điểm của BC. Tìm đường thẳng song song với mp(ABC)?

A. GH         B. HN        C. GM        D. HM

Lời giải:

   + Xét tam giác SAB có; SA = SB = AB = a

⇒ tam giác SAB là tam giác đều nên trực tâm H đồng thời là trọng tâm của tam giác SAB.

   + Gọi I và T lần lượt là trung điểm của AB; AC

Do G và H là trọng tâm hai tam giác SAC và SAB nên :

SH/SI = SG/ST = 2/3

⇒ HG // IT

   + Mà IT ⊂ mp (ABC) nên HG // mp(ABC)

Chọn A

Câu 7: Cho hình chóp S. ABCD. Trong tam giác SAB có ∠SAB = 90°; SA = SB đường cao AH. Lấy điểm M trên cạnh SA sao cho: SM = 3MD. Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho NC = 3NS. Gọi K là trung điểm của SD. Tìm đường thẳng song song với mp(ABCD).

A. HN        B. KM         C. MN        D. HK

Lời giải:

   + Xét tam giác SAB có: ∠SAB = 90° ; SA = SB

⇒ Tam giác SAB vuông cân tại S.

Mà AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến nên H là trung điểm của SB

   + Xét tam giác SBD có: H và K lần lượt là trung điểm của SB; SD

⇒ HK là đường trung bình của tam giác SBD nên HK // BD

Mà BD ⊂ mp(ABCD) nên : HK // mp(ABCD)

Chọn D

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD. Trên các cạnh AD; AB; SB; SD lần lượt lấy các điểm M; N; P; Q sao cho MQ // NP và MQ = NP. Tìm mặt phẳng song song với đường thẳng PQ.

A. (SMD)

B. (PNC)

C. (DCN)

D. Không có mặt phẳng nào song song PQ

Lời giải:

   + Ta có; MQ // NP

⇒ bốn điểm M; N; P và Q đồng phẳng

   + Xét tứ giác MNPQ có: MQ // NP và MQ = NP

⇒ Tứ giác MNPQ là hình bình hành

⇒ MN // PQ

   + Mà MN ⊂ mp(DCN)

⇒ MN // mp(DCN)

Chọn C