Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng. Tìm thiết diện qua 1 điểm và song song với đường thẳng - Toán lớp 11
Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng. Tìm thiết diện qua 1 điểm và song song với đường thẳng
Với Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng. Tìm thiết diện qua 1 điểm và song song với đường thẳng Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng. Tìm thiết diện qua 1 điểm và song song với đường thẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
A. Phương pháp giải
Xác định lần lượt các giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp theo các bước sau:
- Từ điểm chung có sẵn , xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của hình chóp (Có thể là mặt trung gian)
- Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta sẽ được các điểm chung mới của (P) với các mặt khác . Từ đó xác định được các giao tuyến mới với các mặt này.
- Tiếp tục như thế cho tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện.
Chú ý:
+ Định lí: Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với 2 đường thẳng đó:
+ Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Chọn mệnh đề sai
A. (IBC) ∩ (SAD) = Ix // AB // CD
B. Giao tuyến của (IBC) và (SAD) là đường trung bình của tam giác SAD
C. Giao tuyến của (IBC) và (SAD) sẽ song song với (SBC)
D. Tất cả sai
Lời giải
+ Ta tìm giao tuyến của mp (IBC) và (SAD)
+ Trong mặt phẳng (SAD) , gọi giao điểm của Ix và SD là J
⇒ IJ // BC.
Lại có; I là trung điểm của SA nên J là trung điểm của SD.
⇒ A và B đều đúng.
+ Giao tuyến của (IBC) và (SAD )là IJ.
Xét tam giác SAD có I và J lần lượt là trung điểm của SA và SD nên IJ là đường trung bình của tam giác
⇒ IJ // AD // BC mà BC ⊂ (SBC)
⇒ IJ // mp(SBC) nên C đúng
Chọn D
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm của SA. Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm M và song song với SC; AD. Chọn mệnh đề sai?
A. Giao tuyến của mp(P) và mp(SAD) là đường thẳng song song với (SCB)
B. Giao tuyến của mp(P) và mp(ABC) là đường thẳng song song với (ADM)
C. Giao tuyến của mp(P) và mp(SCD) là đường thẳng song song với (SCB)
D. Giao tuyến của mp(P) và mp(SAB) là đường thẳng song song với SC
Lời giải
+ Qua M kẻ các đường thẳng MQ // AD và MO // SC . (với Q ∈ SD; O ∈ AC)
Ta có: SC và AD lần lượt song song với mặt phẳng (OMQ) nên (OMQ) ≡ (P)
+ Ta có giao tuyến của (OMQ) và (SAD) là MQ và MQ // AD (theo cách dựng)
Mà AD // BC và BC ⊂ mp(SCB) nên MQ // mp(SBC)
⇒ A đúng
+ Ta tìm giao tuyến của (OMQ) và (ABCD) ta có
⇒ (OMQ) ∩ (ABCD) = Ox // MQ // AD
Gọi Ox cắt CD và AB lần lượt tại P và N. Khi đó; NP // AD // QM
Mà AD ⊂ (ADM) nên NP // mp(ADM)
⇒ B đúng .
+ Ta tìm giao tuyến của (OMQ) và (SCD) có:
Mà SC ⊂ mp(SCB) nên PQ // mp(SCB)
⇒ C đúng
Chọn D
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD. Hai điểm M, N là hai điểm bất kì trên SB và CD. (α) là mặt phẳng qua MN và song song với SC. Gọi d là giao tuyến của mp(α) và (SCD). Tìm mệnh đề đúng nhất về giao tuyến đó?
A. d đi qua M và song song SC
B. d đi qua N và song song SC
C. d đi qua D và song song MN.
D. Tất cả sai
Lời giải
+ Xét hai mp(α) và (SCD) có:
Chọn B
Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi H là một điểm nằm trong tam giác ABC và (α) là mặt phẳng đi qua H song song với AB và CD. Mệnh đề nào sau đây đúng về thiết diện của tứ diện cắt bởi mp (α) ?
A. Thiết diện là hình vuông
B. Thiết diện là hình thang cân
C. Thiết diện là hình bình hành
D. Thiết diện là hình chữ nhật
Lời giải
+ Qua H kẻ đường thẳng (d) song song AB và đường thẳng này cắt BC; AC lần lượt tại M; N
+ Từ N kẻ NP song song với CD (P ∈ AD)
+ Từ P kẻ PQ song song với AB (Q ∈ BD).
+ Ta có: MN // PQ // AB suy ra 4 điểm M; N; P và Q đồng phẳng .
Suy ra là thiết diện của tứ diện cắt bởi mp(α) là tứ giác MNPQ.
+ Ta chứng minh MNPQ là hình bình hành. Trước tiên; ta chứng minh PN // QM
Lại có: PQ // MN
⇒ Tứ giác MNPQ là hình bình hành
Chọn C
Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 10; M là điểm trên SA sao cho SM/SA = 2/3. Một mặt phẳng (α) đi qua M song song với AB và AD cắt hình chóp theo một tứ giác có diện tích là:
Lời giải
+ Ta có : mp(α) song song AB và AD mà AB cắt AD tại A suy ra mp(α) // mp(ABCD)
+ Giả sử mp(α) cắt các mặt bên (SAB); (SBC); (SCD) và (SAD) lần lượt theo các giao tuyến MN; NP; PQ và QM suy ra mp (α) ≡ mp(MNPQ)
Mà S.ABCD là hình chóp đều nên ABCD là hình vuông (3)
Từ (1); (2); (3) suy ra: MNPQ là hình vuông cạnh: NP= 2/3.BC= 2/3.10= 20/3
Suy ra : SMNPQ = (20/3)2 = 400/9
Chọn A
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân đáy lớn AD. Gọi M; N lần lượt là hai trung điểm của AB và CD; mp(P) là mặt phẳng qua MN và cắt mặt bên (SBC) theo một giao tuyến. Thiết diện của (P) và hình chóp là
A. Hình bình hành
B. Hình thang
C. Hình chữ nhật
D. Hình vuông
Lời giải
Xét hình thang ABCD, có M và N lần lượt là trung điểm của AB; CD
Suy ra: MN là đường trung bình của hình thang ABCD và MN // BC // AD
Lấy điểm P ∈ SB, qua P kẻ đường thẳng song song với BC và cắt SC tại Q
Suy ra: (P) ∩ (SBC) = PQ nên thiết diện của hình chóp là tứ giác MNPQ
Lại có: MN // PQ // BC
⇒ thiết diện là hình thang MNPQ
Chọn B
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là điểm thuộc cạnh SA (không trùng với S hoặc A). Gọi (P) là mặt phẳng qua OM và song song với AD. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (P) là:
A. Hình bình hành
B. Hình thang
C. Hình chữ nhật
D. Hình tam giác
Lời giải
Qua M kẻ đường thẳng MN // AD ( N ∈ SD)
Qua O kẻ đường thẳng PQ // AD // BC (P ∈ CD và Q ∈ AB)
Suy ra: MN // PQ // AD nên 4 điểm M; N; P; Q đồng phẳng
⇒ Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp (P) là hình thang MNPQ
Chọn B
Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi I; J lần lượt thuộc cạnh AD; BC sao cho IA = 2 ID và JB = 2JC. Gọi (P) là mặt phẳng qua IJ và song song với AB. Thiết diện của (P) và tứ diện ABCD là:
A. Hình thang
B. Hình bình hành
C. Hình tam giác
D. Tam giác đều
Lời giải
+ Giả sử cắt các mặt (ABC) và (ABD) theo hai giao tuyến JH và IK.
⇒ JH // IK // AB (ba mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến thì 3 giao tuyến đó đồng quy hoặc song song với nhau)
+ Theo định lí Thalet, ta có: JB/IC = HA/HC = 2
suy ra: HA/HC = IA/ID (= 2)
⇒ IH // CD (1)
Mà IH ⊂ mp(P) suy ra CD song song với mặt phẳng (P)
Từ (1) và (2) suy ra: IH // J K
Mà JH // IK
⇒ tứ giác HIKJ là hình bình hành.
Do đó, thiết diện của (P) và tứ diện ABCD là hình bình hành
Chọn B
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Trên cạnh SA lấy điểm M bất kì; trên cạnh SD lấy điểm N sao cho MN // BC. Gọi P là trung điểm của SB. Tìm giao tuyến của mp(MNP) với mp(SBC) ?
A. PC
B. PQ với Q là trung điểm SC
C. PS
D. PH với SH = 2 HC
Lời giải:
+ Do MN // BC và BC ⊂ mp(SBC) nên MN // mp(SBC)
+ Tìm giao tuyến của mp(MNP) với mp(SBC)
Mà MN // BC nên Px // BC
+ Theo giả thiết P là trung điểm của SB nên Q là trung điểm của SC
Vậy giao tuyến của mp(MNP) với mp(SBC) là PQ với Q là trung điểm SC
Chọn B
Câu 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD // BC, AD = 2BC, M là trung điểm SA. Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện là
A. tam giác B. hình bình hành C. hình thang vuông D. hình chữ nhật.
Lời giải:
Chọn B
+ Sử dụng định lý ba đường giao tuyến ta có :
Ba mặt phẳng (MBC), (SBC) và (SAD) đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến Mx; BC và AD.
⇒ Mx // BC // AD
+ Gọi Mx cắt SD tại N.
⇒ Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(MBC) là tứ giác MBCN.
+ Do MN // BC nên MBCN là hình thang.
Lại có MN // BC và M là trung điểm SA
⇒ MN là đường trung bình của tam giác SAD và MN = (1/2)AD = BC
⇒ thiết diện MBCN là hình bình hành
Câu 3: Cho tứ diện ABCD và M là điểm ở trên cạnh AC. Mặt phẳng (α) qua M và song song với AB và CD. Thiết diện của tứ diện cắt bởi (α) là
A. hình bình hành
B. hình chữ nhật
C. hình thang
D. hình thoi
Lời giải:
Chọn A
+ Trên (ABC) kẻ MN // AB, N ∈ BC
+ Trên (BCD) kẻ NP // CD; P ∈ BD
Ta có (α) chính là mặt phẳng (MNP)
+ Ta tìm giao tuyến của mp(MNP) và (ACD):
Gọi Mx cắt AD tại Q
⇒ Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(MNP) là tứ giác MNPQ
+ Ta có 3 mp (MNP), (ABC) và (ABD) cắt nhau theo 3giao tuyến là NM, PQ và AB
⇒ MN // PQ // AB (định lí giao tuyến của ba mặt phẳng)
+ Xét tứ giác MQPN có: MQ // NP và MN // PQ
⇒ MNPQ là hình bình hành
Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm S; gọi (P) là mặt phẳng qua I và B ; đồng thời (P) // AD. Thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt bởi mặt phẳng (P) là:
A. Tam giác
B. Hình thang
C. Hình bình hành
D. Tam giác hoặc hình bình hành
Lời giải:
+ Ta tìm giao tuyến của mp (P) và (SAD) .
Gọi giao điểm của Ix và SD là J
⇒ IJ // AD // BC
+ Ta tìm giao tuyến của mp(P) và (SBC):
⇒ (P) ∩ (SBC) = BC
⇒ thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt bởi mặt phẳng (P) là hình thang IBCJ
Chọn B
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M là trung điểm của SA. Thiết diện của mặt phẳng (P) với hình chóp S.ABCD là hình gì? biết (P) là mặt phẳng qua điểm M và song song với SC; AD.
A. Tam giác B. Tam giác cân C. Tứ giác D. Hình thang
Lời giải:
+ Qua M kẻ các đường thẳng MQ // AD và MO // SC
Ta có: SC và AD lần lượt song song với mặt phẳng (OMQ) nên (OMQ) ≡ (P)
+ Dễ dàng tìm được: (OMQ) ∩ (ABCD) = NP, với NP // MQ // BC và O ∈ NP. Từ đó ta có:
Vậy thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp là hình thang MNPQ
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M; N là hai điểm trên SB; CD và (P) là mặt phẳng qua MN và song song với SC. Thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) là?
A. Tam giác cân
B. Tứ giác
C. Hình thang
D. Tam giác hoặc tứ giác
Lời giải:
Chọn C
+ Ta xác định mp (P) và tìm giao tuyến của mp(P) với các mặt của hình chóp.
- Qua N kẻ NP // SC
⇒ (MNP) là mặt phẳng qua MN và song song với SC
Vậy P ≡ (MNP)
- Ta có: (P) ∩ (SCD) = NP
⇒ Thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp là tứ giác MPNQ
- theo cách dựng ta có; MP // NQ (cùng // SC)
⇒ MPNQ là hình thang.
Câu 7: Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Mặt phẳng (α) qua trung điểm của AC và song song với AB, CD cắt ABCD theo thiết diện là
A. hình tam giác
B. hình vuông
C. hình thoi
D. hình chữ nhật
Lời giải:
Chọn C
Gọi M là trung điểm của AC.
Ta có:
⇒ Thiết diện là hình bình hành MNPQ
Lại có: AB = CD suy ra MN = NP
Vậy thiết diện cần tìm là hình thoi MNPQ
Câu 8: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều. Gọi M là trung điểm của SA. Mặt phẳng (α) qua M và song song AB; AC. Hỏi mặt phẳng (α) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?
A. Tam giác B. Tam giác cân C. Tam giác đều D. Hình thang.
Lời giải:
+ Xét giao tuyến của mp(α) và mp(SAB) có:
Trong mp(SAB) ; gọi giao điểm của Mx và SB là P
Mà MP // AB và M là trung điểm SA nên P là trung điểm SB; MP = AB/2 (1)
+ Xét giao tuyến của mp(α) và mp(SAC) có:
Trong mp( SAC) ; gọi giao điểm của My và SC là N.
Mà MN // AC và M là trung điểm SA nên N là trung điểm SC; MN = (AC)/2 (2)
⇒ Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(α) là tam giác MNP
+ Xét tam giác SBC có N và P lần lượt là trung điểm của SC; SB
⇒ NP là đường trung bình của tam giác SBC và NP = BC/2 (3)
Từ (1); (2); (3) kết hơp tam giác ABC là tam giác cân suy ra: MN = NP = PM
⇒ Tam giác MNP là tam giác đều
Chọn C
