Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay - Toán lớp 11


Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

Với Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

A. Phương pháp giải

Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

+) Sử dụng tính chất: d' là ảnh của d qua phép Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực haythì d' song song hoặc trùng với d

Nếu: d: Ax + By + C = 0; d'//d ⇒ d': Ax + By + C' = 0 (C' ≠ C)

+) Sử dụng biểu thức tọa độ

+) Chú ý: Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (1;-3) và đường thẳng d có phương trình 2x - 3y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay .

Hướng dẫn giải:

Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Lấy điểm M(x;y) tùy ý thuộc d, ta có 2x - 3y + 5 = 0 (*)

Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến

Do d' = Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay(d) nên d' song song hoặc trùng với d, vì vậy phương trình đường thẳng d' có dạng 2x - 3y + c = 0.(**)

Lấy điểm M(-1;1) ∈ d. Khi đó M' = Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay(M) = (-1 + 1;1 - 3) = (0;-2).

Do M' ∈ d' ⇒ 2.0 - 3.(-2) + c = 0 ⇔ c = -6

Vậy ảnh của d là đường thẳng d': 2x - 3y - 6 = 0.

Cách 3. Để viết phương trình d' ta lấy hai điểm phân biệt M,N thuộc d, tìm tọa độ các ảnh M', N' tương ứng của chúng qua Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay. Khi đó d' đi qua hai điểm M' và N'.

Cụ thể: Lấy M(-1;1), N(2;3) thuộc d, khi đó tọa độ các ảnh tương ứng là M'(0;-2), N'(3;0). Do d' đi qua hai điểm M', N' nên có phương trình Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

Ví dụ 2: Tìm PT đt d qua phép tịnh tiến theo Tính chất của phép tịnh tiến cực hay : d biến thành d’, biết: d’: 2x + 3y – 1 = 0 với Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (-2;-1)

Hướng dẫn giải:

* Cách 1: Gọi Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay (d) = d'. Khi đó d // d’ nên PT đt d có dạng: 2x + 3y + C = 0

Chọn A’(2;-1) ∈ d’. Khi đó: Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay (A) = A' ⇒ A(4; 0) ∈ d nên 8 + 0 + C = 0 ⇔ C = -8

Vậy: d: 2x + 3y – 8 = 0

* Cách 2: Chọn A’(2; -1) ∈ d’, Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay (A) = A' ⇒ A(4; 0) ∈ d và chọn B’(-1;1) ∈ d’, Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay (B) = B' ⇒ B(1;2) ∈ d

Đt d đi qua 2 điểm A, B nên PT đt d là:

Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

⇔ 2x – 8 = -3y

⇔ 2x + 3y – 8 = 0

* Cách 3: Gọi M’(x’;y’) ∈ d’, Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay(M) = M'Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

Ta có: M’ ∈ d’

⇔ 2x’ + 3y’ – 1 = 0

⇔ 2x – 4 + 3y – 3 – 1 = 0

⇔ 2x + 3y – 8 = 0

⇔ M ∈ d: 2x + 3y – 8 = 0

Ví dụ 3: Tìm tọa độ vectơ Tính chất của phép tịnh tiến cực hay sao cho Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay (d) = d' với d: 3x – y + 1 = 0 và d’: 3x – y – 7 = 0

Hướng dẫn giải:

d' là ảnh của d qua phép Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay thì d' song song hoặc trùng với d

Nhận thấy d//d’ nên với mỗi điểm A ∈ d; B ∈ d' ta có:

Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

Ví dụ 4: Phép tịnh tiến theo vectơ Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (3;m). Tìm m để đt d: 4x + 6y – 1 = 0 biến thành chính nó qua phép tịnh tiến theo vectơ Tính chất của phép tịnh tiến cực hay

Hướng dẫn giải:

Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

Hay lắm đó

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ có phương trình 4x - y + 3 = 0. Ảnh của đường thẳng Δ qua phép tịnh tiến T theo vectơ Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (2;-1) có phương trình là:

A. 4x - y + 5 = 0.

B. 4x - y + 10 = 0.

C. 4x - y - 6 = 0.

D. x - 4y - 6 = 0.

Lời giải:

.

Cách 1. Gọi Δ' là ảnh của Δ qua phép Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay . Khi đó Δ' song song hoặc trùng với Δ nên Δ' có phương trình dạng 4x - y + c = 0.

Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

Chọn C.

Cách 2. Gọi M(x;y) là điểm bất kì thuộc đường thẳng Δ.

Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

Thay x = x' - 2 và y = y' + 1 vào phương trình Δ ta được 4(x' - 2) - (y' + 1) + 3 = 0 ⇔ 4x' - y' - 6 = 0.

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy nếu phép tịnh tiến biến điểm A(2;-1) thành điểm A'(1;2) thì nó biến đường thẳng d có phương trình 2x - y + 1 = 0 thành đường thẳng d' có phương trình nào sau đây?

A. d': 2x - y = 0.

B. d': 2x - y + 1 = 0.

C. d': 2x - y + 6 = 0.

D. d': 2x - y - 1 = 0.

Lời giải:

.

Gọi Tính chất của phép tịnh tiến cực hay là vectơ thỏa mãn Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

Ta có Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay (d) = d' → d' song song hoặc trùng với d. Suy ra d': 2x - y + c = 0.

Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

Chọn C.

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy nếu phép tịnh tiến biến điểm A(2;-1) thành điểm A'(2018;2015) thì nó biến đường thẳng nào sau đây thành chính nó?

A. x + y - 1 = 0.

B. x - y - 100 = 0.

C. 2x + y - 4 = 0.

D. 2x - y - 1 = 0.

Lời giải:

.

• Gọi Tính chất của phép tịnh tiến cực hay là vectơ thỏa mãn Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

• Vì Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay nên qua phép tịnh tiến đường thẳng biến thành chính nó khi nó có vectơ chỉ phương cùng phương với Tính chất của phép tịnh tiến cực hay

• Xét B, đường thẳng: x - y - 100 = 0 có một vectơ pháp tuyến Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay, suy ra vectơ chỉ phương Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay cùng phương.

Chọn B.

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x - y + 1 = 0. Để phép tịnh tiến theo vectơ Tính chất của phép tịnh tiến cực hay biến d thành chính nó thì Tính chất của phép tịnh tiến cực hay phải là vectơ nào trong các vectơ sau?

A. Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (2;1).

B. Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (2;-1).

C. Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (1;2).

D. Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (-1;2).

Lời giải:

.

Để d biến thành chính nó khi và chỉ khi vectơ Tính chất của phép tịnh tiến cực hay cùng phương với vectơ chỉ phương của d.

Đường thẳng d có VTPT Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

Chọn C.

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng song song d và d' lần lượt có phương trình 2x - 3y - 1 = 0 và 2x - 3y + 5 = 0. Phép tịnh tiến nào sau đây không biến đường thẳng d thành đường thẳng d'?

A. Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (0;2).

B. Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (-3;0).

C. Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (3;4).

D. Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (-1;1).

Lời giải:

.

• Gọi Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (a;b) là vectơ tịnh tiến biến đường d thành d'.

• Lấy M(x;y) ∈ d.

Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

Thay (*) vào phương trình của d ta được 2(x' - a) - 3(y' - b) - 1 = 0 hay 2x' - 3y' - 2a + 3b - 1 = 0

suy ra phương trình d': 2x - 3y - 2a + 3b - 1 = 0

Mặt khác, theo giả thiết d': 2x - 3y + 5 = 0 ⇒ -2a + 3b - 1 = 5 (1)

Nhận thấy, Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (-1;1) không thỏa mãn (1).

Chọn D.

Hay lắm đó

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng: d: 2x - y + 4 = 0 và d': 2x - y -1 = 0. Tìm giá trị thực của tham số m để phép tịnh tiến Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay theo vectơ Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (m;-3) biến đường thẳng d thành đường thẳng d’.

A. m = 1.

B. m = 2.

C. m = 3.

D. m = 4.

Lời giải:

.

Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

Chọn A.

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ có phương trình y = -3x + 2. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay thì đường thẳng Δ biến thành đường thẳng d có phương trình là:

A. y = - 3x + 1.

B. y = - 3x - 5.

C. y = - 3x + 9.

D. y = - 3x + 11.

Lời giải:

.

Từ giả thiết suy ra d là ảnh của Δ qua phép tịnh tiến theo vectơ Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay.

Ta có Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay = (2;3).

Biểu thức tọa độ của phép Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay thay vào Δ ta được:

y' - 3 = -3(x' - 2) + 2

↔ y' = -3x' + 11.

Chọn D.

Lưu ý: Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ có phương trình 5x - y + 1 = 0. Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục hoành về phía trái 2 đơn vị, sau đó tiếp tục thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục tung về phía trên 3 đơn vị, đường thẳng Δ biến thành đường thẳng Δ' có phương trình là

A. 5x - y + 14 = 0.

B. 5x - y - 7 = 0.

C. 5x - y + 5 = 0.

D. 5x - y - 12 = 0.

Lời giải:

.

+) Tịnh tiến theo phương trục hoành về phía trái 2 đơn vị tức là tịnh tiến theo vectơ Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay.

+) Tịnh tiến theo phương của trục tung về phía trên 3 đơn vị tức là tịnh tiến theo vectơ Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (0;3).

+) Khi đó, ta thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

Ta có: Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay thay vào Δ ta được 5(x' + 2) - (y' - 3) + 1 = 0 ⇔ 5x' - y' + 14 = 0.

Chọn A.

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d: 2x - 3y + 3 = 0 và d': 2x - 3y - 5 = 0. Tìm tọa độ Tính chất của phép tịnh tiến cực hay có phương vuông góc với d để Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay.

Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

Lời giải:

.

Chọn A

Đặt Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (a;b), lấy điểm M(x;y) tùy ý thuộc d, ta có d: 2x - 3y + 3 = 0 (*)

Gỉa sử M'(x';y') = Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay(M). Ta có Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay thay vào (*) ta được phương trình 2x' - 3y' - 2a + 3b + 3 = 0.

Từ giả thiết suy ra -2a + 3b + 3 = -5 ⇔ 2a - 3b = -8.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay.

Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng có phương trình d: 3x - 4y + 5 = 0 và d’: 3x - 4y = 0. Phép tịnh tiến theo vectơ Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay biến đường thẳng d thành đường thẳng d’. Khi đó, độ dài bé nhất của vectơ Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay bằng bao nhiêu?

Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

Lời giải:

.

+) Độ dài bé nhất của vectơ Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay bằng khoảng cách giữa hai đường d và d'.

+) Nhận thấy d//d’. Nên khoảng cách từ d đến d; bằng khoảng cách từ 1 điểm bất kì trên d đến d’ (hoặc từ 1 điểm bất kì trên d’ đến d)

+) Chọn A(0;0) ∈ d'. Ta có Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

Chọn C.

Chú ý: Trong mặt phẳng Oxy cho M(x0;y0) và Δ: Ax + By + C = 0. Khi đó, khoảng cách từ M đến ∆ là: Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có lời giải hay khác: