Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay - Toán lớp 11

Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay

Với Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

A. Phương pháp giải

- Nhắc lại Phương trình đường tròn: Trong mặt phẳng Oxy, phương trình đường tròn có dạng:

+ Dạng 1: Đương tròn (C) tâm I (a;b), bán kính R, (C): (x - a)² + (y - b)² = R²

+ Dạng 2: (C): x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 (điều kiện: a² + b² - c > 0) khi đó đường tròn tâm I (a;b) và bán kính

- Sử dụng tính chất: Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

→ Như vậy, để viết phương trình (C’) ta chỉ cần tìm ảnh tâm I của (C) qua phép tịnh tiến.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn có phương trình (C): (x + 3)² + (y – 1)² = 4 với = (-3;1) Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ = (-3;1)

Hướng dẫn giải:

* Cách 1: (C) có tâm I(-3; 1) và bán kính R = 2

Khi đó: (I) = I'(-6;2) và R’ = R = 2. Vậy: (C) = (C'): (x + 6)² + (y - 2)² = 4

* Cách 2: Gọi M(x;y) ∈ (C),

Ta có: M ∈ (C) ⇔ (x’ + 3 + 3)² + (y’ – 1 – 1)² = 4 ⇔ M’ ∈ (C'): (x + 6)² + (y – 2)² = 4

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo , cho đường tròn (C) có phương trình . Tìm ảnh của (C): x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0 qua phép tịnh tiến theo vectơ = (2;-3)

Hướng dẫn giải:

Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ.

Lấy điểm M(x;y) tùy ý thuộc đường tròn (C), ta có x² + y² + 2x - 4y - 4 = 0 (*)

Gọi

Thay vào phương trình (*) ta được (x' - 2)² + (y' + 3)² + 2(x' - 2) - 4(y' + 3) - 4 = 0

⇔ x'² + y'² -2x' + 2y' - 7 = 0.

Vậy ảnh của (C) là đường tròn(C'): x² + y² - 2x + 2y - 7 = 0.

Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến

Dễ thấy (C) có tâm I(-1;2) và bán kính r = 3. Gọi (C') = ((C)) và I'(x';y'); r' là tâm và bán kính của (C').

Ta có và r' = r = 3 nên phương trình của đường tròn (C') là (x - 1)² + (y + 1)² = 9.

Ví dụ 3: Tìm tọa độ vectơ sao cho (C) = (C')

a) (C): (x – 2)² + (y + 3)² = 4 và (C’): (x + 5)² + (y – 1)² = 4

b) (C): x² + y² – 2x + 4y + 2 = 0 và (C’): x² + y² + 4x – 6y + 10 = 0

Hướng dẫn giải:

a) Từ (C), ta có: tâm I(2;-3) và từ (C’), ta có: tâm I’(-5; 1)

Khi đó: (C) = (C') ⇒ = (-7;4)

b) Từ (C), ta có: tâm I(1;-2) và từ (C’), ta có: tâm I’(-2; 3)

Khi đó: (C) = (C') ⇒ = (-3;5)

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ảnh của đường tròn (C): (x + 1)² + (y - 3)² = 4 qua phép tịnh tiến theo vectơ = (3;2) là đường tròn có phương trình:

A. (x + 2)² + (y + 5)² = 4.

B. (x - 2)² + (y - 5)² = 4.

C. (x - 1)² + (y + 3)² = 4.

D. (x + 4)² + (y - 1)² = 4.

Lời giải:

.

Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến

+) Đường tròn (C) có tâm I(-1;3), bán kính R = 2.

+) Gọi I'(x';y') là tâm của đường tròn (C’) là ảnh của I(-1;3) qua phép tịnh tiến vectơ = (3;2).

Ta có

+) Theo tính chất của Phép tịnh tiến: R' = R = 2.

+) Khi đó, (C') có tâm I'(2;5), bán kính R' = 2 nên có phương trình (x - 2)² + (y - 5)² = 4.

Chọn B.

Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ = (3;3) và đường tròn (C): x² + y² - 2x + 4y - 4 = 0. Ảnh của (C) qua phép tịnh tiến vectơ là đường tròn nào?

A. (C'): (x - 4)² + (y - 1)² = 4.

B. (C'): (x - 4)² + (y - 1)² = 9.

C. (C'): (x + 4)² + (y + 1)² = 9.

D. (C'): x² + y² + 8x + 2y - 4 = 0.

Lời giải:

Chọn B.

Ta có (C): x² + y² -2x + 4y - 4 = 0 ⇔ (x - 1)² + (y + 2)² = 9.

Vậy đường tròn (C) có tâm I(1;-2) và bán kính R = 3.

Gọi I'(x';y') = (I) khi đó ta có

Do phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính nên phương trình đường tròn (C') là (C'): (x - 4)² + (y - 1)² = 9.

Câu 3. Cho (3;-2) và đường tròn (C): x² + y² - 4x + 4y - 1 = 0. Ảnh của (C) qua là (C'):

A. x² + y² + 8x + 2y - 4 = 0

B. (x + 5)² + (y - 4)² = 9.

C. (x + 1)² + y² = 9.

D. (x - 5)² + (y + 4)² = 9.

Lời giải:

.

Chọn D.

Đường tròn (C): (x - 2)² + (y + 2)² = 9 có tâm I(2;-2) và bán kính R = 3

Gọi I' là tâm của đường tròn (C’). Khi đó: (I) = I' ⇒ I'(5;-4).

Mặt khác: R' = R = 3. Vậy phương trình của (C’): (x - 5)² + (y + 4)² = 9

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C₁) và (C₂) bằng nhau có phương trình lần lượt là (x - 1)² + (y + 2)² = 16 và (x + 3)² + (y - 4)² = 16. Giả sử T là phép tịnh tiến theo vectơ biến (C₁) thành (C₂). Tìm tọa độ của vectơ .

A. = (-4;6).

B. = (4;-6).

C. = (3;-5).

D. = (8;-10).

Lời giải:

.

Đường tròn (C₁) có tâm I₁(1;-2). Đường tròn (C₂) có tâm I₂(-3;4).

Vì

Chọn A.

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² + 4x - 6y - 5 = 0. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ = (1;-2) và = (1;-1) thì đường tròn (C) biến thành đường tròn (C') có phương trình là:

A. x² + y² - 18 = 0.

B. x² + y² - x + 8y + 2 = 0.

C. x² + y² + x - 6y - 5 = 0.

D. x² + y² - 4y - 4 = 0.

Lời giải:

.

Cách 1.

+) Từ giả thiết suy ra (C') là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo

+) Đường tròn (C) có tâm I(-2;3), bán kính

+) Gọi I'(x';y') là tâm của đường tròn (C’) là ảnh của I(-2;3) qua phép tịnh tiến vectơ = (2;-3) → I'(0;0).

+) Theo tính chất của Phép tịnh tiến:

+) Khi đó, (C') có tâm I'(0;0), bán kính nên có phương trình (x - 0)² + (y - 0)² = 18

Chọn A.

Cách 2.

+) Từ giả thiết suy ra (C') là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo

+) Biểu thức tọa độ của phép thay vào (C) ta được

(x' - 2)² + (y' + 3)² + 4(x - 2) - 6(y' + 3) - 5 = 0 ↔ x'² + y'² - 18 = 0.

Chọn A.

Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x - 1)² + (y + 2)² = 9 và đường tròn(C'): (x + 1)² + (y - 3)² = 9. Phép tịnh tiến theo véc tơ biến đường tròn (C) thành đường tròn (C'). Khi đó véc tơ có toạ độ là

A. = (5;2).

B. = (2;-5).

C. = (-2;5).

D. = (2;5).

Lời giải:

Chọn C

Đường tròn (C)có tâm I(1;-2) và bán kính R = 3, đường tròn (C') có tâm I'(-1;3) và bán kính R = 3.

Phép tịnh tiến theo véc tơ biến đường tròn (C) thành đường tròn (C') thì (I) = I'

Câu 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x + y - 1 = 0 và đường tròn (C): (x - 3)² + (y - 1)² = 1. Ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo véc tơ = (4;0) cắt đường tròn (C) tại hai điểm A(x₁;y₁) và B(x₂;y₂). Giá trị x₁ + x₂ bằng:

A. 5.

B. 8.

C. 6.

D. 7.

Lời giải:

Chọn D

Do đó ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo là d': x + y - 5 = 0.

Giao điểm của d' và (C) là nghiệm của hệ phương trình:

Có x₁; x₂ là hai nghiệm của phương trình (2) nên theo định lý Vi-ét có x₁ + x₂ = 7.

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C): (x + m)² + (y - 2)² = 5 và (C'): x² + y² + 2(m - 2)y - 6x + 12 + m² = 0. Vectơ nào dưới đây là vectơ của phép tịnh tiến biến (C) thành (C')?

A. = (2;1).

B. = (-2;1).

C. = (-1;2).

D. = (2;-1).

Lời giải:

Chọn A.

Câu 9. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường tròn cho trước thành chính nó?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số.

Lời giải:

.

Có đúng một phép tịnh tiến. Tịnh tiến theo vectơ–không.

Chọn B

Câu 10. Cho đường tròn (C) có tâm O và đường kính AB. Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C) tại điểm

A. Phép tịnh tiến theo vectơ biến ∆ thành:

A. Đường kính của đường tròn (C) song song với ∆.

B. Tiếp tuyến của (C) tại điểm B.

C. Tiếp tuyến của (C) song song với AB.

D. Đường thẳng song song với ∆và đi qua O

Lời giải:

.

Chọn B.

Theo tính chất 2 của phép tịnh tiến nên là tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm B.