Cách tìm ảnh của đường thẳng qua phép quay cực hay - Toán lớp 11
Cách tìm ảnh của đường thẳng qua phép quay cực hay
Với Cách tìm ảnh của đường thẳng qua phép quay cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tìm ảnh của đường thẳng qua phép quay từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
A. Phương pháp giải
● Cho đường thẳng Δ:ax+by+c = 0
Cách 1: Sử sụng tính chất hai đường thẳng vuông góc ( nêu ở trên)
Cách 2: Sử dụng phương pháp quý tích, với các lưu ý dưới đây:
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm ảnh của đường thẳng d: 6x - 5y + 18 = 0 qua phép quay Q(O,90°).
Hướng dẫn giải:
Cách 1.
d'⊥d nên phương trình có dạng 5x + 6y + c = 0
Lấy M(-3;0) ∈ d, ta có Q(O,90°)(M) = M'(0;-3), M' ∈ d' ⇒ c = 18, hay d': 5x + 6y + 18 = 0.
Cách 2.
Ta có phương trình d:6x - 5y + 18 = 0
Gọi d’ là ảnh của d qua Q(O,90°). Khi đó với M(x;y) ∈ d ⇒ M'(x';y') ∈ d'
Thay (*) vào phương trình của d ta được: d: 6y' - 5(-x') + 18 = 0 ⇔ d': 5x + 6y + 18 = 0
Vậy: d': 5x + 6y + 18 = 0.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x - y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép quay tâm O góc quay -90°.
Hướng dẫn giải:
Cách 1. Qua phép quay tâm O góc quay -90° đường thẳng d biến thành đường thẳng d' vuông góc với d.
Phương trình đường thẳng d' có dạng: x + 2y + c = 0.
Lấy A(0;3) ∈ d. Qua phép quay tâm O góc quay -90°, điểm A(0;3) biến thành điểm B(3;0) ∈ d'. Khi đó c = -3.
Vậy phương trình đường d' là x + 2y - 3 = 0.
Cách 2. Ta có phương trình d: 2x - y + 3 = 0
Gọi d’ là ảnh của d qua Q(O,-90°). Khi đó với M(x;y) ∈ d ⇒ M'(x';y') ∈ d'
Thay (*) vào phương trình của d ta được: 2(-y') - x + 3 = 0 ⇔ d': x' + 2y' - 3 = 0
Vậy: d': x + 2y - 3 = 0.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + 2y - 5 = 0 , điểm I(3;1), phép quay Q(I,90°)(d) = d'. Xác định phương trình đường thẳng d'.
Hướng dẫn giải:
Ta có: I ∈ d ⇒ I ∈ d'
Đường thẳng d' có dạng: 2x - y + c = 0.
Vì d' đi qua Inên 2.3 - 1 + c = 0 ⇒ c = -5 ⇒ d': 2x - y - 5 = 0
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Tìm ảnh của đường thẳng d: 5x - 3y + 15 = 0 qua phép quay Q(O,90°).
A. d': x + y + 15 = 0.
B. d': 3x + 5y + 5 = 0.
C. d': 3x + y + 5 = 0.
D. d': 3x + 5y + 15 = 0.
Lời giải:
Chọn D
d'⊥d nên phương trình có dạng 3x + 5y + c = 0
Lấy M(-3;0) ∈ d, ta có Q(O,90°)(M) = M'(0;-3), M' ∈ d' ⇒ C = 15, hay d': 3x + 5y + 15 = 0.
Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng Δ:x - y + 2 = 0. Hãy viết phương trình đường thẳng d là ảnh của đường thẳng Δ qua phép quay tâm O, góc quay 90°.
A. d:x + y + 2 = 0.
B. d:x - y + 2 = 0.
C. d:x + y - 2 = 0.
D. d:x + y + 4 = 0.
Lời giải:
Chọn A
Đường thẳng d là ảnh của đường thẳng Δ qua phép quay tâm O, góc quay 90° nên d vuông góc với Δ.
Phương trình d có dạng x + y+c = 0 (1)
Chọn M(0;2) ∈ Δ, M'là ảnh của M qua phép quay nên M'(-2;0) ∈ d
Thay vào (1): c = 2.
Vậy phương trình d:x + y + 2 = 0.
Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là 2x + y + 5 = 0 và x - 2y - 3 = 0. Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay φ (0 ≤ φ ≤ 180°) là:
A. 45°.
B. 60°.
C. 90°.
D. 120°.
Lời giải:
.
Ta thấy hai đường thẳng a và b có phương trình 2x + y + 5 = 0 và x - 2y - 3 = 0 là vuông góc với nhau. Suy ra φ = 90°.
Chọn C.
Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là 4x + 3y + 5 = 0 và x + 7y-4 = 0. Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay φ (0 ≤ φ ≤ 180°) là:
A. 45°.
B. 60°.
C. 90°.
D. 120°.
Lời giải:
.
Đường thẳng a: 4x + 3y + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến 
Đường thẳng b: x + 7y-4 = 0 có vectơ pháp tuyến 
Góc α là góc tạo bởi a và b ta có
Vậy φ = 45°.
Chọn A.
Câu 5. Cho hai đường thẳng bất kỳ d và d'. Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng d thành đường thẳng d'?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
Lời giải:
Chọn D
Tâm quay là điểm cách đều hai đường thẳng.
Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ0xy, phép quay tâm I(4;-3)góc quay 180° biến đường thẳng d: x + y - 5 = 0 thành đường thẳng d' có phương trình
A. x - y + 3 = 0.
B. x + y + 3 = 0.
C. x + y + 5 = 0.
D. x + y - 3 = 0.
Lời giải:
Chọn B
Ta có phép quay Q(I,180°)là phép đối xứng tâm I
Vì I∉dnên nếu ĐI(d) = d' thì d//d', suy ra phương trình d': x + y + m = 0 (m ≠ -5).
Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x - y + 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép quay tâm O góc quay -90°.
A. d': x + 3y + 2 = 0.
B. d': x + 3y-2 = 0.
C. d': 3x - y-6 = 0.
D. d': x - 3y-2 = 0.
Lời giải:
Chọn B
Qua phép quay tâm O góc quay -90° đường thẳng d biến thành đường thẳng d' vuông góc với d.
Phương trình đường thẳng d' có dạng: x + 3y + m = 0.
Lấy A(0;2) ∈ d. Qua phép quay tâm O góc quay -90°, điểm A(0;2) biến thành điểm B(2;0) ∈ d'. Khi đó m = -2.
Vậy phương trình đường d' là x + 3y - 2 = 0.
Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + y + 1 = 0, điểm I(1;-2), phép quay Q(I,90°)(d) = d'. Xác định phương trình đường thẳng d'.
A. -x + y - 2 = 0.
B. x - y - 1 = 0.
C. x - y + 3 = 0.
D. x - y - 3 = 0.
Lời giải:
.
Chọn D
Ta có: I ∈ d ⇒ I ∈ d'
Đường thẳng d' có dạng: x - y + c = 0.
Vì d' đi qua Inên 1 + 2 + c = 0 ⇒ c=-3 ⇒ d': x - y - 3 = 0
Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho I(2;1) và đường thẳng d: 2x + 3y + 4 = 0. Tìm ảnh của d qua Q(I,45°)
Lời giải:
.
Chọn D
Chọn 2 điểm M(-2;0), N(1;-2) ∈ d. Gọi M'(x1;y1) và N' (x2;y2) là ảnh của M, N qua Q(I,45°).
Áp dụng biểu thức tọa độ:
