Tổng hợp các công thức tính đạo hàm chi tiết hay, chi tiết nhất - Toán lớp 11

---

Tổng hợp các công thức tính đạo hàm chi tiết hay, chi tiết nhất

Tài liệu Tổng hợp các công thức tính đạo hàm chi tiết hay, chi tiết nhất Toán lớp 11 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về công thức tính đạo hàm từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 11.

I. Định nghĩa đạo hàm

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

* Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x₀ thuộc (a; b).Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) :

Thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x0 và được kí hiệu là f^' (x₀ ). Vậy

* Chú ý:

Đại lượng ∆x= x- x₀ được gọi là số gia của đối số tại x₀.

Đại lượng ∆y= f(x) – f( x₀)= f( x₀+ ∆x)- f( x₀) được gọi là số gia tương ứng của hàm số.

• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Quy tắc tính hàm định nghĩa:

+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0; tính :

∆y= f( x₀+ ∆x)- f( x₀) .

+ Bước 2: Lập tỉ số ∆y/∆x.

+ Bước 3:

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số.

* Định lí: Nếu hàm số y= f( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

* Chú ý:

+ Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.

+ Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

4. Đạo hàm một bên. Đạo hàm trên khoảng; trên đoạn.

a. Đạo hàm bên trái, bên phải

+ Nếu tồn tại giới hạn( hữu hạn) bên phải

ta gọi giới hạn đó là đạo hàm bên phải của hàm số y= f(x) tại x=x₀ và kí hiệu f^'(x₀⁺)

+ Tương tự; đạo hàm bên trái của hàm số là

Hệ quả : Hàm số y= f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi tồn tại f^'(x₀⁺) và f^;(x₀^-) đồng thời f^' (x₀⁺ )=f^'(x₀^-) .

b. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b).

Hàm số y= f(x) có đạo hàm trên[a;b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái tại x= b và đạo hàm phải tại x= a.

5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Định lí: Đạo hàm của hàm số y= f(x) taị điểm x=x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến M₀T của đồ thị hàm số y= f( x) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)).

Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)) là:

y – y₀= f’(x₀) ( x- x₀)

trong đó y₀= f( x₀) .

6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm.

a. Vận tốc tức thời.

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s= s(t); với s= s(t) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s= s(t) tại t₀:

v(t₀) = s’(t₀)

b. Cường độ tức thời.

Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q= Q(t) ( là hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q= Q(t) tại t₀:

I(t₀)= Q’(t₀) .

II. Các quy tắc tính đạo hàm

1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

a. Định lí 1: Hàm số y= xⁿ (n ∈ N; n > 1) có đạo hàm tại mọi x∈R và :

(xⁿ )'=nx^(n-1)

Nhận xét :

Đạo hàm của hàm hằng bằng 0 : (c)'=0 .

Đạo hàm của hàm số y=x bằng 1 : (x)'=1.

b. Định lí 2. Hàm số y= √x có đạo hàm tại mọi x dương và :

(√x)'= 1/(2√x)

2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hàm số

a. Định lí : Giả sử u= u(x) ; v= v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có :

(u+v)'=u'+v'

(u-v)'=u'-v'

(u.v)'=u'.v+u.v'

(u/v)'= (u'.v-u.v')/v² ( v=v(x)≠0 )

(u₁±u₂±⋯±u_n) '= u₁'±u₂'±⋯±u_n'

b.Hệ quả.

Nếu k là một hằng số thì : ( ku)'=k.u'

(1/v)'= (- v')/v² ( v=v(x)≠0)

3. Đạo hàm của hàm số hợp

Định lí : Nếu hàm số u= g(x) có đạo hàm tại x là u'_xvà hàm số y=f(u) có đạo hàm tại u là y'_u thì hàm hợp y=f(g(x)) có đạo hàm tại x là :

y'_x= y'_u.u'_x

Bảng tóm tắt

( u+v-w)'=u'+v'-w'

(ku)^'=k.u' ( k là hằng số)

(uv)'=u^'.v+uv'

( u/v)'= (u' v-uv')/v²

(1/v)'=(-v')/v²

y'_x= y'_u.u'_x

III. Đạo hàm của hàm số lượng giác

1. Giới hạn lượng giác

2. Đạo hàm của hàm số y= sinx

* Định lí : Hàm số y= sinx có đạo hàm tại mọi x∈R và (sinx)'=cosx

* Chú ý : Nếu y= sinx và u= u(x) thì : ( sinu)'=u'.cosu

3. Đạo hàm của hàm số y= cosx

* Định lí : Hàm số y= cosx có đạo hàm tại mọi x∈R và ( cosx)'= -sinx

* Chú ý : Nếu y= cosu và u= u(x) thì : (cosu)'= -u'.sinu

4. Đaọ hàm của hàm số y= tan x

* Định lí : Hàm số y= tanx có đạo hàm tại mọi x≠π/2+kπ;k∈Z và (tanx)'= 1/(cos² x)

* Chú ý : Nếu y= tan u và u= u( x) thì ta có : ( tanu)'= u'/(cos² u)

5. Đạo hàm của hàm số y= cotx

*Định lí : hàm số y= cotx có đạo hàm với mọi x≠kπ;k∈Z và (cot⁡x )'= (- 1)/(sin² x)

*Chú ý : Nếu y= cotu và u= u(x) ta có : (cotu)'= (- u')/(sin² u)

Bảng đạo hàm

IV. Vi phân

1. Định nghĩa

Tích f' (x).∆x được gọi là vi phân của hàm số y= f(x) tại điểm x (ứng với số gia ) được kí hiệu là : d f(x) hoặc dy tức là :

dy= df(x)= f' (x).∆x

*Chú ý

Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số y=x ta có :

dx=d( x)=(x).∆x=1.∆x= ∆x

Do đó với hàm số y= f(x) ta có : dy=df(x)=f' (x).dx

2. Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng.

Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a ;b) và có đạo hàm tại x thuộc (a;b). Giả sử ∆ x là số gia của x. Ta có :

f(x₀+ ∆x)≈f(x₀ )+f' (x₀ ).∆x

V. Đạo hàm cấp cao của hàm số

1. Định nghĩa

Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm tại trên khoảng (a ;b). Nếu hàm số y’= f’(x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y= f(x) và được kí hiệu là y'' hay f'' (x), tức là: .

Đạo hàm cấp n: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm cấp n-1 (với n thuộc Y, n lón hơn hoặc bằng 2 ) là f^(n-1)(x). Nếu f^(n-1) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số

y= f(x) và được kí hiệu là f⁽ⁿ⁾, tức là: f^{((n) )} (x)=(f^((n-1) ) (x))'

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai.

Xét một vật chuyển động xác định bởi phương trình s= s( t) ; trong đó s= s(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai.

Đạo hàm cấp hai s''(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s= s(t) tại thời điểm t.