Phương pháp tính đạo hàm bằng định nghĩa hay, chi tiết - Toán lớp 11
Phương pháp tính đạo hàm bằng định nghĩa hay, chi tiết
Với Phương pháp tính đạo hàm bằng định nghĩa hay, chi tiết Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
A. Phương pháp giải & Ví dụ
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0 và kí hiệu là f’(x0) (hoặc y’(x0)), tức là
Chú ý:
Đại lượng Δx = x – x0 gọi là số gia của đối số x tại x0.
Đại lượng Δy = f(x) – f(x0) = f(x0 + Δx) – f(x0) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy
2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Bước 1. Giả sử Δx là số gia của đối số x tại x0, tính Δy = f(x0 + Δx) – f(x0).
Chú ý: Trong định nghĩa trên đây, thay xo bởi x ta sẽ có định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x ∈ (a, b)
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho hàm số 
có Δx là số gia của đối số tại x = 2. Khi đó 
bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Tập xác định của hàm số đã cho là D = [2/3; +∞)
Với Δx là số gia của đối số tại x = 2 sao cho 2 + Δx ∈ D, thì
Bài 2: Cho hàm số f(x) = 3x + 5.Tính đạo hàm của hàm số đã cho bằng định nghĩa.
Hướng dẫn:
Tập xác định của hàm số đã cho là D = R
Ta có Δy = 3(x+Δx) + 5 - 3x - 5 = 3Δx
Khi đó:
Bài 3: Cho hàm số 
Đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 1?
Hướng dẫn:
với Δx là số gia của đối số tại x = 1, ta có
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho: f(x)= 2x3 + 1 tại x = 2
Hướng dẫn:
Ta có
Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho:
Hướng dẫn:
Ta có
Bài 6: Tính đạo hàm của hàm số:
Hướng dẫn:
Ta có f(0) = 0, do đó:
Bài 7: Tính đạo hàm của hàm số 
bằng định nghĩa
Hướng dẫn:
Tập xác định của hàm số đã cho là D = R\{-1}
Ta có
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hàm số f(x) = x2 + 2x, có Δx là số gia của đối số tại x = 1, Δy là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó Δy bằng:
A. (Δx)2 + 2Δx
B. (Δx)2 + 4Δx
C. (Δx)2 + 2Δx - 3
D. 3
Lời giải:
Đáp án: B
Δy = f(1 + Δx) - f(1) = (1 + Δx)2 + 2(1 + Δx) - (1 + 2) = (Δx)2 + 4Δx
Đáp án B
Bài 2: Cho hàm số 
Đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 1 là:
A. 1/4 B. -1/2 C. 0 D. 1/2
Lời giải:
Đáp án: A
với Δx là số gia của đối số tại x = 1, ta có
Đáp án A
Bài 3: Cho hàm số f(x) = |x + 1|. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. f(x) liên tục tại x = -1
B. f(x) có đạo hàm tại x = -1
C. f(-1) = 0
D. f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = -1
Lời giải:
Đáp án: B
Suy ra không tồn tại giới hạn của tỉ số 
khi x → -1
Do đó hàm số đã cho không có đạo hàm tại x = -1
Vậy chọn đáp án là B
Bài 4: Số gia của hàm số f(x) = 2x2 - 1 tại x0 = 1 ứng với số gia Δx = 0,1 bằng:
A. 1
B. 1,42
C. 2,02
D. 0,42
Lời giải:
Đáp án: B
chọn đáp án là B
Bài 5: Cho hàm số y = √x, Δx là số gia của đối số tại x. Khi đó Δy/Δx bằng:
Lời giải:
Đáp án: C
Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)
Vậy chọn đáp án là C
Bài 6: Cho hàm số 
Đạo hàm của hàm số đã cho tại x = 1?
A. 1 B. 0 C. 1/4 D. -1/4
Lời giải:
Đáp án: C
Ta có
Vậy chọn đáp án là C
Bài 7: Đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho: f(x) = 2x3 + 1 tại x = 2?
A. 10
B. 24
C. 22
D. 42
Lời giải:
Đáp án: B
Ta có
Vậy chọn đáp án là B
Bài 8: Đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho:
A. 1/2 B. -1/√2 C. 0 D. 3
Lời giải:
Đáp án: A
Ta có f(0) = 0, do đó:
Vậy chọn đáp án là A
Bài 9: Hàm số 
có Δx là số gia của đối số tại x = 2. Khi đó Δy/Δx bằng?
Lời giải:
Đáp án: A
Vậy chọn đáp án là A
Bài 10: Đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã cho: f(x) = x2 + 1 tại x = 1?
A. 1/2 B. 1 C. 0 D. 2
Lời giải:
Đáp án: D
Vậy chọn đáp án là D
