Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11
Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay
Với Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
A. Phương pháp giải
+ Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số .
+ Bước 2: Thiết lập phương trình; bất phương trình
+ Bước 3: Áp dụng cách giải phương trình ; bất phương trình lượng giác đã được học
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho f(x)= sin 2x. Giải phương trình f' ( x)=0?
Hướng dẫn giải
+ Ta có đạo hàm: f,m ' (x)=2cos2x
+ Để f' ( x)=0 ⇔ 2.cos2x= 0 hay cos2x= 0
Ví dụ 2.Cho hàm số; y=tan( x+ π/3). Giải bất phương trình y’> 0.
A. x≠π/6+kπ B. x≠π/6+k2π C. x≠π/3+kπ D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải
+ Điều kiện : x+ π/3≠π/2+kπ hay x≠π/6+kπ
+ Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có đạo hàm:
Ví dụ 3. Cho hàm số: y= sinx+ cosx. Tìm nghiệm của phương trình y'=0
Hướng dẫn giải
Ví du 4. Cho hàm số: y= tanx+ cot x. Giải phương trình y'=0
Hướng dẫn giải
Ví du 5. Cho hàm số: y=2 cos( 2x- π/3). Giải phương trình y'=4
Hướng dẫn giải
Đạo hàm của hàm số đã cho :
Ví dụ 6 Cho hàm số y= x+ sin 2x. Giải phương trình y'= 0
Hướng dẫn giải
Đạo hàm của hàm số là : y'=1+2cos2x
Ví dụ 7.Cho hàm số y= 3x+ 1 – cos2x. Tập nghiệm của bất phương trình y'>0
Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có đạo hàm: y'=3+2sin2x
Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤sin2x ≤1 ⇔ - 2 ≤2sin2x ≤2
⇔ ≤3+2sin2x ≤5
⇒ Với mọi x ta luôn có: y'>0
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là R.
Chọn D.
Ví dụ 8. Cho hàm số y=x3+ 3x+ sin3 x. Giải bất phương trình y' ≥0
Hướng dẫn giải
Ta có đạo hàm: y'=3x2+ 3+ 3sin2x. cosx
Với mọi x ta có; cosx ≥ - 1 ⇒ 3sin2 x.cosx ≥ - 3.sin2 x
⇒ 3+ 3sin2x.cosx ≥ 3- 3.sin2 x ⇔ 3+ 3sin2x.cosx ≥ 3.cos2x ( 1)
Lại có 3x2 ≥0 ∀ x (2)
Từ( 1) và ( 2) vế cộng vế ta có:
y'=3x2+ 3+ 3sin2x. cosx ≥3x2+3cos2 x ≥0 với mọi x.
Vậy với mọi x ta luôn có: y' ≥0
Chọn C.
Ví dụ 9. Cho hàm số y= cos( 2π/3+2x) . Khi đó phương trình y'=0 có nghiệm là:
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ví dụ 10.Cho hàm số y= cot2 π/4. Khi đó nghiệm của phương trình y'=0 là:
Hướng dẫn giải
Ví dụ 11.Cho hàm số : y= 2cos3x- 3sin2x. Giải phương trình y'= 0
Hướng dẫn giải
Ta có đạo hàm : y'= -6 sin3x-6cos2x
Để y'= 0 thì – 6 sin 3x - 6 cos2x= 0
⇔sin3x+ cos2x= 0 ⇔ sin3x= - cos2x
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho f(x)= sin( π/2-3x). Giải phương trình f' ( x)=0?
Lời giải:
Câu 2: Cho hàm số y=tan( 2x+ 2π/3). Giải bất phương trình y’> 0
Lời giải:
Câu 3: Cho hàm số: y=2sinx - 2cosx + 10. Tìm nghiệm của phương trình y'=0
Lời giải:
Câu 4: Cho hàm số: y= 2tan3x + 3cot 2x+ 90. Giải phương trình y'=0
Lời giải:
Câu 5: Cho hàm số: y=(- 1)/2 cos( 4x- π/6). Giải phương trình y'=1
Lời giải:
Đạo hàm của hàm số đã cho :
Câu 6: Cho hàm số y= 2x+ 1+ cos2x. Giải phương trình y'= 2
A. x=π/3+kπ B. x=π/6+kπ C. x=kπ/2 D. x=kπ
Lời giải:
Đạo hàm của hàm số là : y'=2-2sin2x
Để y^'=2 khi và chỉ khi: 2- 2sin 2x = 2
⇔ sin2x= 0 ⇔2x= kπ ⇔ x= kπ/2
Chọn C.
Câu 7: Cho hàm số y= x3 +3x + sin3x. Tập nghiệm của bất phương trình y^' ≤0
Lời giải:
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Ta có đạo hàm: y'=3x2+3+3cos3x
Với mọi x ta luôn có: cos3x ≥ -1 nên 3cos3x ≥ -3
⇒ 3+ 3cos3x ≥0 ( 1)
Mà 3x2 ≥0 với mọi x. ( 2)
Từ ( 1) và ( 2) suy ra; y'=3x2+3+3cos3x ≥0
⇒Để y'≤0 khi và chỉ khi 3x2+3+3cos3x=0
Vậy nghiệm của bất phương trình y'≤0 là x= 0
Chọn B. .
Câu 8: Cho hàm số y= x + √x+ sin2 x. Giải bất phương trình y'≥0
Lời giải:
Điều kiện: x ≥0
Taị các điểm x > 0 hàm số đã cho có đạo hàm:
Câu 9: Cho hàm số: y= cos ( 2x- π/3) . sin (2x- π/4) . Giải phương trình y’= 2
Lời giải:
Đạo hàm của hàm số đã cho là ;
Câu 10: Cho hàm số y= tan( x3 + 3x2+ 3x+ 9). Giải phương trình y'=0?
A. x= 0 B. x = 2 C. x= -1 D. Đáp án khác
Lời giải:
+ Điều kiện cos( x3+3x2+3x+9)≠0
+ Tại các điểm x thỏa mãn điều kiện xác định; hàm số có đạo hàm :
+ Với x= -1 ta có: cos( x3+3x2+3x+9)=cos8≠0 ( thỏa mãn điều kiện xác định)
Vậy nghiệm của phương trình y’= 0 là x= - 1
Chọn C.