Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11


Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay

Với Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay

A. Phương pháp giải

+ Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số .

+ Bước 2: Thiết lập phương trình; bất phương trình

+ Bước 3: Áp dụng cách giải phương trình ; bất phương trình lượng giác đã được học

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho f(x)= sin 2x. Giải phương trình f' ( x)=0?

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

+ Ta có đạo hàm: f,m ' (x)=2cos2x

+ Để f' ( x)=0 ⇔ 2.cos2x= 0 hay cos2x= 0

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Ví dụ 2.Cho hàm số; y=tan⁡( x+ π/3). Giải bất phương trình y’> 0.

A. x≠π/6+kπ        B. x≠π/6+k2π        C. x≠π/3+kπ        D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Điều kiện : x+ π/3≠π/2+kπ hay x≠π/6+kπ

+ Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có đạo hàm:

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Ví dụ 3. Cho hàm số: y= sinx+ cosx. Tìm nghiệm của phương trình y'=0

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Ví du 4. Cho hàm số: y= tanx+ cot x. Giải phương trình y'=0

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Ví du 5. Cho hàm số: y=2 cos⁡( 2x- π/3). Giải phương trình y'=4

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho :

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Hay lắm đó

Ví dụ 6 Cho hàm số y= x+ sin 2x. Giải phương trình y'= 0

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số là : y'=1+2cos2x

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Ví dụ 7.Cho hàm số y= 3x+ 1 – cos2x. Tập nghiệm của bất phương trình y'>0

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có đạo hàm: y'=3+2sin2x

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤sin⁡2x ≤1 ⇔ - 2 ≤2sin2x ≤2

⇔ ≤3+2sin2x ≤5

⇒ Với mọi x ta luôn có: y'>0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là R.

Chọn D.

Ví dụ 8. Cho hàm số y=x3+ 3x+ sin3 x. Giải bất phương trình y' ≥0

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Ta có đạo hàm: y'=3x2+ 3+ 3sin2x. cosx

Với mọi x ta có; cosx ≥ - 1 ⇒ 3sin2 x.cosx ≥ - 3.sin2 x

⇒ 3+ 3sin2x.cosx ≥ 3- 3.sin2 x ⇔ 3+ 3sin2x.cosx ≥ 3.cos2x ( 1)

Lại có 3x2 ≥0 ∀ x (2)

Từ( 1) và ( 2) vế cộng vế ta có:

y'=3x2+ 3+ 3sin2x. cosx ≥3x2+3cos2 x ≥0 với mọi x.

Vậy với mọi x ta luôn có: y' ≥0

Chọn C.

Ví dụ 9. Cho hàm số y= cos( 2π/3+2x) . Khi đó phương trình y'=0 có nghiệm là:

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Chọn B.

Ví dụ 10.Cho hàm số y= cot2 π/4. Khi đó nghiệm của phương trình y'=0 là:

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Ví dụ 11.Cho hàm số : y= 2cos3x- 3sin2x. Giải phương trình y'= 0

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Ta có đạo hàm : y'= -6 sin⁡3x-6cos2x

Để y'= 0 thì – 6 sin 3x - 6 cos2x= 0

⇔sin3x+ cos2x= 0 ⇔ sin3x= - cos2x

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Hay lắm đó

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho f(x)= sin( π/2-3x). Giải phương trình f' ( x)=0?

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Câu 2: Cho hàm số y=tan⁡( 2x+ 2π/3). Giải bất phương trình y’> 0

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Câu 3: Cho hàm số: y=2sinx - 2cosx + 10. Tìm nghiệm của phương trình y'=0

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Câu 4: Cho hàm số: y= 2tan3x + 3cot 2x+ 90. Giải phương trình y'=0

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Câu 5: Cho hàm số: y=(- 1)/2 cos⁡( 4x- π/6). Giải phương trình y'=1

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho :

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Hay lắm đó

Câu 6: Cho hàm số y= 2x+ 1+ cos2x. Giải phương trình y'= 2

A. x=π/3+kπ        B. x=π/6+kπ        C. x=kπ/2        D. x=kπ

Lời giải:

Đạo hàm của hàm số là : y'=2-2sin2x

Để y^'=2 khi và chỉ khi: 2- 2sin 2x = 2

⇔ sin2x= 0 ⇔2x= kπ ⇔ x= kπ/2

Chọn C.

Câu 7: Cho hàm số y= x3 +3x + sin3x. Tập nghiệm của bất phương trình y^' ≤0

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có đạo hàm: y'=3x2+3+3cos3x

Với mọi x ta luôn có: cos3x ≥ -1 nên 3cos3x ≥ -3

⇒ 3+ 3cos3x ≥0 ( 1)

Mà 3x2 ≥0 với mọi x. ( 2)

Từ ( 1) và ( 2) suy ra; y'=3x2+3+3cos3x ≥0

⇒Để y'≤0 khi và chỉ khi 3x2+3+3cos3x=0

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Vậy nghiệm của bất phương trình y'≤0 là x= 0

Chọn B. .

Câu 8: Cho hàm số y= x + √x+ sin2 x. Giải bất phương trình y'≥0

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Điều kiện: x ≥0

Taị các điểm x > 0 hàm số đã cho có đạo hàm:

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Câu 9: Cho hàm số: y= cos ( 2x- π/3) . sin (2x- π/4) . Giải phương trình y’= 2

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Lời giải:

Đạo hàm của hàm số đã cho là ;

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

Câu 10: Cho hàm số y= tan( x3 + 3x2+ 3x+ 9). Giải phương trình y'=0?

A. x= 0        B. x = 2        C. x= -1        D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Điều kiện cos⁡( x3+3x2+3x+9)≠0

+ Tại các điểm x thỏa mãn điều kiện xác định; hàm số có đạo hàm :

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay - Toán lớp 11

+ Với x= -1 ta có: cos⁡( x3+3x2+3x+9)=cos⁡8≠0 ( thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy nghiệm của phương trình y’= 0 là x= - 1

Chọn C.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có lời giải hay khác: