Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản hay, chi tiết - Toán lớp 11
Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản hay, chi tiết
Với Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản hay, chi tiết Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập giải phương trình lượng giác từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
A. Phương pháp giải
+ Nếu α là một nghiệm của phương trình sinx= m thì phương trình này có hai họ nghiệm là:
Chú ý: phương trình sinx= m chỉ có nghiệm khi: - 1 ≤ m ≤ 1.
+ Nếu α là một nghiệm của phương trình cosx=m thì phương trình đã cho có hai họ nghiệm:
+ Nếu α là một nghiệm của phương trình tanx= m thì phương trình này có nghiệm là: x= α+kπ
+ Nếu α là một nghiệm của phương trình cot x = m thì phương trình này có nghiệm là: x= α+kπ
+ Các trường hợp đặc biệt :
• Sinx=0 ⇔ x=kπ
• Sinx= 1 ⇔ x= π/2+k2π
• Sinx= -1 ⇔ x= (-π)/2+k2π
• cos= 0 ⇔ x= π/2+kπ
• cosx= 1 ⇔ x=k2π
• cosx=- 1 ⇔ x= π+k2π
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Hỏi x=7π/3 là nghiệm của phương trình nào sau đây?
A. 2sinx - √3=0.
B. 2sinx+ √3=0.
C. 2cosx- √3=0
D.2cosx+ √3=0.
Lời giải
Chọn A
Cách 1.
Với x=7π/3 , suy ra 
.
Cách 2. Thử x=7π/3 lần lượt vào các phương trình.
Ví dụ 2. Giải phương trình sin(2x/3- π/3)=0.
A. x=kπ (k∈Z)
B.
.
C. 
.
D. 
.
Lời giải.
Chọn D.
Ta có : sin(2x/3- π/3)=0.
⇔ 2x/3- π/3=kπ (k∈Z)
⇔ 2x/3= π/3+kπ ⇔ x= π/2+ k3π/2 ( k∈Z).
Ví dụ 3. Với giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y= sin3x và y= sinx bằng nhau?
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời Giải.
Chọn B.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: sin 3x= sinx
Ví dụ 4. Giải phương trình cot(3x-1)= -√3
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời Giải.
Chọn A.
Ta có cot(3x-1)= -√3 ⇒ cot(3x-1)= cot(-π/6) .
⇔ 3x-1= (-π)/6+kπ ⇔ x= 1/3- π/(18 )+k. π/3 = 1/3+ 5π/(18 )+(k-1). π/3
Đặt k- 1=l suy ra nghiệm phương trình x= 1/3+ 5π/(18 )+l. π/3
Ví dụ 5. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tanx = 1?
A. sinx= √2/2
B. sinx= √2/2
C. cotx= 1
D.cot2x = 1
Lời giải
Chọn C.
Ta có: tanx=1 ⇒ x= π/4+kπ ( k∈Z).
Xét đáp án C, ta có cotx=1 ⇒ x= π/4+kπ ( k∈Z).
Cách 2. Ta có đẳng thức tanx=1/cotx . Kết hợp giả thiết tanx=1, ta được cotx=1. Vậy hai phương trình tanx= 1 và cotx= 1 là tương đương.
Ví dụ 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cosx= m+ 1 có nghiệm?
A. 1
B. 2
C. 3
D. Vô số.
Lời giải
Chọn C.
Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cosx= a.
+ Phương trình có nghiệm khi |a| ≤ 1.
+Phương trình vô nghiệm khi |a| > 1.
Do đó, phương trình cosx= m+ 1 có nghiệm khi và chỉ khi
Vậy có 3 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm.
Ví dụ 7. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos(2x- π/3)-m=2 có nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S.
A. T= 6
B. T=3
C. T= - 3
D. T= - 6
Lời giải
Chọn D.
Phương trình cos(2x- π/3)-m=2 ⇔ cos(2x- π/3)= m+2.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
- 1 ≤ m+2 ≤ 1 ⇔ - 3 ≤ m ≤ -1.
Mà m nguyên nên m∈{-3;-2;-1}
Suy ra: T= - 3+ ( -2)+ (-1)= - 6
Ví dụ 8. Giải phương trình: tan(π/3+x)=tan π/4
A. -π/12+kπ
B. π/12+kπ
C. -π/3+kπ
D. -π/4+kπ
Lời giải
Ta có: tan(π/3+x)=tan π/4
⇔ π/3+x= π/4+kπ ( k∈Z)
⇔ x= π/4- π/3+kπ= (-π)/12+kπ
Chọn D .
Ví dụ 9. Giải phương trình: cos((x+ π)/4)= 1/2
A. x= π/3+4kπ hoặc x= (- π)/3+k4π)
B. x= π/12+4kπ hoặc x= (- π)/12+k4π)
C. x= π/3+4kπ hoặc x= (- 7π)/3+k4π)
D. Đáp án khác
Lời giải
Ta có: cos((x+ π)/4)= 1/2 hay cos((x+ π)/4)= cos π/3
Chọn C
Ví dụ 10. Giải phương trình : sinx= 2/5
A. x= α+k2π hoặc x= - α+k2π
B. x= α+k2π hoặc x= π+ α+k2π
C. x= α+kπ hoặc x= π- α+kπ
D. x= α+k2π hoặc x= π- α+k2π
Với sinα= 2/5
Lời giải
Vì - 1 < 2/5 < 1 nên có số α để sinα = 2/5
Khi đó sinx= 2/5 ⇔ sinx= sinα nên x= α+k2π hoặc x= π- α+k2π
Chọn D
Ví dụ 11. Giải phương trình tanx= 2
A. 2+ kπ
B. arctan 2+ kπ
C.2+ k2π
D. arctan 2+ k 2π
Lời giải
Ta có: tanx = 2 ⇒ x= arctan2+ kπ ( k∈Z)
Chọn B.
Ví dụ 12. Giải phương trình : cot(π/3+x)=cot(π+x)/2
A. π/3+ k4π
B. π/3+ k2π
C. π/3+ kπ
D. π/6+ kπ
Lời giải
Ta có: cot(π/3+x)=cot (π+x)/2
⇒ π/3+x= (π+x)/2+kπ với k∈Z
⇒ x- x/2= π/2- π/3+kπ
⇒ x/2= π/6+kπ x=π/3+ k2π
Chọn B.
Ví dụ 13. Giải phương trình cos(400+ x)= cos( 800 –x)
A. x= 200+ k. 1800
B. x= 200+ k. 3600
C. x= - 400+ k.1800
D. Cả A và C đúng
Lời giải
Ta có: cos( 400+ x) = cos( 800 – x)
Chọn A.
Ví dụ 14. Giải phương trình: cos(x+ 100) = 1/3
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải
Ta có: cos( x+100) = 1/3
Chọn C.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:Giải phương trình cos(π/3-x)=0
A. - π/2+l2π
B. - π/3+l2π
C. π/6+l2π
D. - π/6+l2π
Lời giải:
Ta có: cos(π/3-x)=0
⇒ cos(π/3-x) = cos π/2
⇒ π/3-x= π/2 + k2π
⇒ -x= π/2- π/3+k2π
⇒ - x= π/6+k2π ⇒ x= - π/6- k2π
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là x= - π/6 + l2π ( với l= - k và nguyên )
Chọn D.
Câu 2:Phương trình: sin( 2x/3- π/3)=0 có nghiệm là:
A.
B.x=kπ .
C.
D.
Lời giải:
Chọn D.
sin( 2x/3- π/3)=0 ⇒ 2x/3- π/3=kπ
⇒ 2x/3 = π/3+ kπ ⇒ x= π/2+k3π/2
Câu 3:Nghiệm của phương trình: sinx.(2cosx-√3)=0 là:
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
Chọn A
D.
Câu 4:Cho phương trình sin(x-100) = 2m+ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm ?
A. 1
B.2
C. 3
D .4
Lời giải:
Ta có: phương trình sin(x-100)= 2m+1 có nghiệm khi và chỉ khi:
- 1 ≤ 2m+1 ≤ 1
⇒ -2 ≤ 2m ≤ 0 ⇔ - 1 ≤ m ≤ 0
⇒ có hai giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm là m= -1 hoặc m = 0
Chọn B.
Câu 5:Giải phương trình sinx= -1/3
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
Chọn C.
Ta có: sinx=-1/3
D.
Câu 6:Giải phương trình cot x = 3
A. arccot 3 + k. π ( k∈Z)
B. arctan 3 + k. π ( k∈Z)
C. arccot 3 + k. 2π ( k∈Z)
D. - arccot 3 + k. π ( k∈Z)
Lời giải:
Ta có: cotx = 3
⇒ x= arccot 3 + k. π ( k∈Z)
Chọn A.
Câu 7:Giải phương trình cos(x+ π)/3= (- 1)/2
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
Chọn B
Câu 8:Giải phưởng trình sinx=sin(2x- π/3)
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
Chọn D.
Câu 9:
Lời giải:
Câu 10:Giải phương trình tanx=(- √3)/3
A. - π/6+kπ
B. π/6+kπ
C. - π/3+kπ
D. π/3+k2π
Lời giải:
Ta có: tanx= (- √3)/3
⇒ tanx= tan(- π)/6
⇒ x= - π/6+kπ
Chọn A.
Câu 11:Giải phương trình cot( x- π/2)=cot( (π/4-x)
A. 3π/8+kπ
B. 3π/8+kπ/2
C. 3π/4+kπ/2
D. 3π/4+kπ
Lời giải:
Ta có: cot( x- π/2)=cot( (π/4-x))
⇒ x- π/2= π/4-x+kπ
⇒ 2x= 3π/4+kπ ⇒ x= 3π/8+kπ/2
Chọn B.
Câu 12:Giải phương trình tanx = cot( x+ π/3)
A. π/12+ kπ
B. π/6+ kπ/2
C. π/12- kπ/2
D. π/3+ kπ
Lời giải:
Lời giải
Ta có: tanx= cot( x+ π/3)
⇒ cot(π/2-x) = cot(x+ π/3)
⇒ π/2- x = x+ π/3+kπ
⇒ - 2x= (-π)/6+kπ
⇒ x= π/12- kπ/2
Chọn C.
Câu 13:Giải phương trình sinx = cosx
A. π/4+k2π
B. π/4+kπ
C. π/2+kπ
D. Đáp án khác
Lời giải:
Lời giải
Ta có: sinx = cosx
⇒ sinx= sin(π/2-x)
.
Chọn B.
Câu 14:Nghiệm của phương trình sin3x= cosx là:
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải:
Lời giải
Chọn A.
Ta có: sin3x= cosx
.
