Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn - Toán lớp 11

---

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn

Với Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

A. Phương pháp giải

+ Để giải phương trình trên khoảng (a;b) ( hoặc trên đoạn) thì ta cần:

   • Bước 1. Tìm họ nghiệm của phương trình đã cho.

   • Bước 2. Giải bất phương trình:

⇒ Các giá trị nguyên của k=... ⇒ các nghiệm của phương trình trong khoảng ( đoạn ) đã cho.

+ Để giải bất phương trình có chứa điều kiện ta cần:

   • Bươc 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình ( nếu có).

   • Bước 2.Biến đổi phương trình đưa về phương trình lượng giác cơ bản

   • Bước 3. Giải phương trình lượng giác cơ bản

   • Bước 4. Kết hợp với điều kiện xác định ⇒ nghiệm của phương trình .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Số nghiệm của phương trình tanx= tan3π/11 trên khoảng( π/4;2π) là?

A. 1

B.2

C. 3

D. 4

Lời Giải.

Chọn B.

Ta có tanx = tan(3π/11) ⇔ x=3π/11+kπ k∈Z

Do x∈( π/4;2π) nên π/4 < 3π/11+kπ < 2π

⇔ 1/4 < 3/11+k < 2 ⇔ (- 1)/44 < k < 19/11

Mà k nguyên nên k ∈{ 0;1}

Tương ứng với hai giá trị của k cho ta hai nghiệm của phương trình đã cho thỏa mãn điều kiện đề bài.

Ví dụ 2. Số nghiệm của phương trình: sin ( x- π/4)=(- 1)/√2 với là:

A.1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải

Chọn D

Ta có: sin(x- π/4)=(- 1)/√2 ⇒ sin(x- π/4)=sin⁡(- π/4)

+ Xét họ nghiệm x = k2π với π ≤ x ≤ 5π

⇒ π ≤ k2π ≤ 5π ⇒ 1/2 ≤ x ≤ 5/2

Mà k nguyên nên k=1 hoặc k= 2

⇒ Họ nghiệm này cho ta hai nghiệm thỏa mãn điều kiện .

+ Xét họ nghiệm x= 3π/2+k2π với π ≤ x ≤ 5π

⇒ π ≤ 3π/2+k2π ≤ 5π ⇒ 1/2 ≤ x ≤ 5/2

Vì k nguyên nên k∈{0;1}.

⇒ Họ nghiệm này cho ta hai nghiệm của x thỏa mãn điều kiện .

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm thỏa mãn điều kiện.

Chọn D.

Ví dụ 3. Số nghiệm của phương trình: cos⁡(x+π/3)= √2/2 với 0 ≤ x ≤ 2π là:

A. 0.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Lời giải

Chọn D

Ta có: cos⁡(x+π/3)= √2/2 ⇒ cos⁡(x+π/3)= cos π/4

+ Xét họ nghiệm: x= -π/12+k2π

Để 0 ≤ x ≤ 2π thì 0 ≤ -π/12+k2π ≤ 2π

⇔ π/12 ≤ k2π ≤ 25π/12 ⇔ 1/24 ≤ k ≤ 25/24

Mà k nguyên nên k = 1 khi đó x= 23π/12

+ Xét họ nghiệm x= -7π/12+k2π

Để 0 ≤ x ≤ 2π thì 0 ≤ -7π/12+k2π ≤ 2π

⇔ 7π/12 ≤ k2π ≤ 31π/12 ⇔ 7/24 ≤ k ≤ 31/24

Mà k nguyên nên k = 1 khi đó x= 17π/12

Vậy phương trình có hai nghiệm 0 ≤ x ≤ 2π là: x= 23π/12 và x= 17π/12

Chọn B.

Ví dụ 4. Tìm nghiệm của phương trình: tanx = 1 trên đoạn (0; 180⁰ )

A. 45⁰; 135⁰

B. 135⁰

C. 45⁰

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có; tanx = 1 ⇔ tanx = 45⁰

⇔ x= 45⁰+ k.180⁰ với k∈ Z.

+Để 0⁰ < x < 180⁰ thì 0⁰ < 45⁰+ k. 180⁰ < 180⁰

⇔ - 45⁰ < k.180⁰ < 135⁰

⇔ (- 45)/180 < k < 135/180

Mà k nguyên nên k= 1. Khi đó;x= 45⁰

Vậy phương trình tanx= 1 có một nghiệm thuộc khoảng (0⁰; 180⁰)

Chọn C.

Ví dụ 5. Tìm tổng các nghiệm của phương trình cosx = sinx trên đoạn [0;π]

A. 3π/4

B. π/2

C. π/4

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: cosx = sinx ⇒ cos x= cos( π/2-x)

⇔ x= π/4+kπ

Xét các nghiệm trên đoạn [0; π] ta có:

0 < π/4+kπ < π ⇔ - π/4 < kπ < 3π/4

⇔ (- 1)/4 < k < 3/4

Mà k nguyên nên k= 0. Khi đó; x= π/4

Chọn C.

Ví dụ 6. Cho phương trình sin( x+ π/6)= 1/2. Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn [0; π]

A. π/6

B. π/3

C. x= 4π/3

D. x= 2π/3

Lời giải

Ta có: sin( x+ π/6)= 1/2 ⇒ sin( x+ π/6)= sin π/6

+ Xét họ nghiệm x= k2π. Ta có:

0 ≤ k2π ≤ π ⇒ 0 ≤ k ≤ 1/2

Mà k nguyên nên k= 0 . Khi đó; nghiệm của phương trình là x= 0

+ Xét họ nghiệm x=2π/3+k2π . Ta có:

0 ≤ 2π/3+ k2π ≤ π ⇔ (- 2)/3 ≤ k ≤ 1/6

Mà k nguyên nên k= 0. Khi đó; x= 2π/3

Vậy trên đoạn [0; π] phương trình đã cho có 2 nghiệm là x= 0 và x= 2π/3

⇒ Tổng hai nghiệm là 2π/3

Chọn D.

Ví dụ 7. Cho phương trình tan ( x+ 45⁰ )= √3. Tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng (90⁰ ;360⁰ )

A. 175⁰

B.195⁰

C. 215⁰

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: tan(x+ 45⁰ ) = √3 ⇔ tan(x+ 45⁰ ) = tan 60⁰

⇔ x+ 45⁰ =60⁰ + k.180⁰

< x= 15⁰ +k.180⁰

Các nghiệm của phương trình trên khoảng (90⁰ ; 360⁰ ) thỏa mãn:

90⁰ < 15⁰ + k.180⁰ < 360⁰

< 75⁰ < k.180⁰ < 345⁰

< 75/180 < k < 345/180

Mà k nguyên nên k= 1

Với k = 1 ta có x= 195⁰

Chọn B.

Ví dụ 8. Cho phương trình sinx = 0.Biết số nghiệm của phương trình trên khoảng (0⁰; a⁰) là 3. Tìm điều kiện của a.

A. a > 540

B. a > 360

C.a > 270

D. a > 630

Lời giải

Ta có: sinx=0 ⇒ x= k.180⁰ với k nguyên

Ta xét số nghiệm cua phương trình trên khoảng (0⁰; a⁰)

0⁰ < k.180⁰ < a⁰

⇒ 0 < k < a/180 (1)

Do phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên khoảng (0⁰;a⁰) nên k∈{1;2;3} (2)

Từ (1) và (2) suy ra: a/180 > 3 ⇔ a > 540

Vậy điều kiện của a là a > 540.

Chọn A.

Ví dụ 9. Cho phương trình tan(x+ π/3) = √3. Tìm số nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng ( 0; 6π ) .

A. 3

B.4

C. 5

D. 6

Lời giải

Ta có: tan(x+ π/3) = √3 ⇔ tan(x+ π/3) = tan π/3

⇒ x+ π/3= π/3+kπ ⇒ x= kπ với k nguyên

Xét các nghiệm của phương trình trên khoảng ( 0; 6π) thỏa mãn:

0 < kπ < 6π < ⇒ 0 < k < 6

Do k nguyên nên k∈{ 1;2;3;4;5}

Vậy số nghiệm của phương trình đã cho trên(0; 6π) là 5.

Chọn C.

Ví dụ 10. Cho phương trình cos(x+ 30⁰) = cos( x + 90⁰) . Tính số nghiệm của phương trình trên đoạn [180⁰; 630⁰]

A.3

B.2

C. 4

D. 5

Lời giải

Ta có: cos(x+ 30⁰) = cos(x+ 90⁰)

Các nghiệm của phương trình trên đoạn[ 180⁰; 630⁰] thỏa mãn:

⇔ 180⁰ ≤ 30⁰+k180⁰ ≤ 630⁰

⇔ 150⁰ ≤ k180⁰ ≤ 600⁰ ⇔ 5/6 ≤ k ≤ 10/3

Mà k nguyên nên k∈ { 1; 2; 3}

Vậy số nghiệm của phương trình đã cho trên [180⁰; 630⁰] là 3

Chọn A.

Ví dụ 11. Cho phương trình cot(x- 30⁰) = tanx. Tìm số nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng ( - 270⁰; 0⁰)

A.4

B. 3

C. 5

D.2

Lời giải

Ta có: cot(x- 30⁰)= tanx ⇔ cot( x- 30⁰) =cot( 90⁰- x)

⇔ x- 30⁰ = 90⁰ – x+ k.180⁰

⇔ 2x= 120⁰ + k.180⁰ ⇔ x= 60⁰ + k. 180⁰

Các nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng (-270⁰; 0⁰) thỏa mãn:

- 270⁰ < 60⁰+ k.180⁰ < 0⁰

⇔ -330⁰ < k.180⁰ < - 60⁰

⇔ (- 33)/18 < k < (-1)/3

Mà k nguyên nên k∈ {-2; -1}

Vậy có hai nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng( -270⁰; 0⁰)

Chọn D.

Ví dụ 12. Cho phương trình: √3cos⁡x+m-1=0. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm:

A.m < 1-√3 .

B.m > 1+√3 .

C.1-√3≤ m ≤1+√3 .

D. -√3 ≤m≤ √3 .

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: có nghiệm khi và chỉ khi :

Ta có:

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Cho phương trình √6 sinx- (3√2)/2=0 . Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 0; 4π) ?

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Lời giải:

mà k nguyên nên k =0 hoặc 1.

+ Tương tự; có 0 < 2π/3+k2π < 4π nên (-2π)/3 < k2π < 10π/3

⇒ (- 2)/6 < k < 10/6, mà k nguyên nên k =0 hoặc 1.

⇒ Phương trình đã cho có tất cả bốn nghiệm trên khoảng (0; 4π)

Chọn A.

Câu 2:Cho phương trình sin(x+ 10⁰) = cos( x- 20⁰). Tìm số nghiêm của phương trình trên khoảng (90⁰ ; 360⁰)?

A.0

B.1

C.2

D.4

Lời giải:

Ta có: sin(x+10⁰) = cos(x-20⁰)

⇔ sin(x+10⁰) = sin (90⁰- x+ 20⁰)

⇔ sin (x+10⁰) = sin (110⁰- x)

Ta có: 90⁰ < 50⁰+ k.180⁰ < 360⁰

⇔ 40⁰ < k.180⁰ < 310⁰ ⇒ 4/18 < k < 31/18

Mà k nguyên nên k= 1.

⇒ Trên khoảng (90⁰;360⁰) phương trình đã cho có đúng một nghiệm.

Chọn B.

Câu 3:Tìm số nghiệm của phương trình sinx= cos ( 2x- 30⁰) trên khoảng ( 60⁰; 360⁰)

A.0

B.2

C.3

D.1

Lời giải:

Lời giải

Ta có: sinx= cos( 2x- 30⁰)

⇔ cos ( 90⁰- x) =cos (2x- 30⁰)

+ khi đó: 60⁰ < 40⁰ – k.360⁰ < 360⁰

⇔ 20⁰ < - k.360⁰ < 320⁰

⇔ (-32)/36 < k < (- 1)/18

Mà k nguyên nên không có giá trị nguyên nào của k thỏa mãn.

+ Tương tự; 60⁰ < -60⁰ + k.360⁰ < 360⁰

⇔ 120⁰ < k.360⁰ < 420⁰

⇔ 1/3 < k < 7/6

Mà k nguyên nên k= 1.

⇒ Phương trình đã cho có đúng một nghiệm thuộc khoảng (60⁰;360⁰)

Chọn D.

Câu 4: Cho phương trình: √6 cot⁡(π/2-x)+ √2=0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( π;4π) ?

A. 2

B.3

C .4

D. 5

Lời giải:

Ta có: √6 cot⁡(π/2-x)+ √2=0

⇔ √6.tanx+ √2=0

⇔ tanx= (- 1)/√3 = tan (-π)/6

⇔ x= (-π)/6+kπ

+ khi đó; π < (-π)/6+kπ < 4π

⇔ 7π/6 < kπ < 25π/6 ⇔ 7/6 < k < 25/6

Mà k nguyên nên k∈ { 2;3;4}.

⇒ phương trình đã cho có 3 nghiệm thuộc khoảng (π;4π).

Chọn B.

Câu 5:Phương trình cosx= m+ 1 có nghiệm khi m là

A.-1≤m≤1 .

B.m≤0 .

C.m≥-2 .

D.-2≤m≤0 .

Lời giải:

Chọn D.

Áp dụng điều kiện nghiệm của phương trình cosx=a

+ Phương trình có nghiệm khi

+ Phương trình có nghiệm khi

Ta có phương trình cosx = m+ 1 có nghiệm khi và chỉ khi:

Câu 6:Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình sin4x + cos5x=0 theo thứ tự là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn C.

sin4x + cos5x=0 ⇒ cos5x=-sin4x

Với nghiệm x=π/2+k2π ta có nghiệm âm lớn nhất và nhỏ nhất là -3π/2 và π/2

Với nghiệm x=-π/18 + k2π/9 ta có nghiệm âm lớn nhất và nhỏ nhất là -π/18 và π/6

Vậy hai nghiệm theo yêu cầu đề bài là -π/18 và π/6

Câu 7:Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên

A. 7π/18

B. 4π/18

C. 47π/8

D. 47π/18

Lời giải:

Ta có: sin(5x+ π/3)=cos⁡(2x- π/3)

Suy ra các nghiệm: x=11π/18

Vậy tổng các nghiệm là: 47π/18 .

Chọn D.

Câu 8:Trong nửa khoảng , phương trình cos2x+ sinx=0 có tập nghiệm là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn D.

Câu 9:Cho phương trình sinx + √3.sin π/6=0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 4π;10π) ?

A. 5

B. 6

C. 7

D . 4 Lời giải

Lời giải:

Ta có: sinx + √3.sin π/6=0 ⇒ sinx + √3.1/2=0

⇔ sin x= (- √3)/2=sin (-π)/3

+ Ta có: 4π < (-π)/3+k2π < 10π

⇔ 13π/3 < k2π < 31π/3 ⇔ 13/6 < k < 31/6

Mà k nguyên nên k∈ { 3; 4; 5}

+ Tương tự; ta có: 4π < 4π/3+k2π < 10π

⇔ 8π/3 < k2π < 26π/3 ⇔ 4/3 < k < 13/3

Mà k nguyên nên k∈ {2; 3;4}

Kết hợp cả hai trường hợp; suy ra phương trình đã cho có tất cả 6 nghiệm trên khoảng (4π;10π) .

Chọn B.