Giới hạn của hàm số tại một điểm và tại vô cực lớp 11 (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo biên soan và sưu tầm trọn bộ chuyên đề phương pháp giải bài tập Giới hạn của hàm số tại một điểm và tại vô cực lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Giới hạn của hàm số tại một điểm và tại vô cực.

Giới hạn của hàm số tại một điểm và tại vô cực lớp 11 (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

Đối với bài toán tính giới hạn của hàm số tại một điểm

- Nếu f(x) là một hàm số sơ cấp xác định tại x₀thì $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$.

- Ta có thể áp dụng các quy tắc về giới hạn tới vô cực

$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$	$\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)$	Dấu của g(x)	$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$
L	±∞	Tùy ý	0
L > 0	0	+	+∞
	0	−	−∞
L < 0	0	+	−∞
	0	−	+∞

Đối với bài toán tính giới hạn của hàm số tại vô cực

- Biến đổi hàm số về tích của lũy thừa có số mũ lớn nhất.

- Áp dụng quy tắc giới hạn tới vô cực.

$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$	$\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)$	$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)g\left(x\right)$
L > 0	+∞	+∞
	−∞	−∞
L < 0	+∞	−∞
	−∞	+∞

Đối với các giới hạn dạng vô định $\frac{0}{0}$.

- Ta phân tích và rút gọn tử số và mẫu số rồi tính giới hạn của hàm số.

Đối với các giới hạn dạng vô định $\frac{\infty }{\infty }$

- Rút gọn tử số và mẫu số theo số hạng có lũy thừa cao nhất rồi tính giới hạn của hàm số.

- Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân hoặc chia biểu thức với biểu thức liên hợp.

- Nếu biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu số và đưa về cùng một biểu thức.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Tính giới hạn $\underset{x\to 2}{\lim }\left(x+5\right)$.

Hướng dẫn giải:

$\underset{x\to 2}{\lim }\left(x+5\right)=2+5=7$.

Ví dụ 2. Tính giới hạn $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x^2+2x+3\right)$.

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 3. Tính giới hạn $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4x+4}{x^2-5x-6}$.

Hướng dẫn giải:

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4x+4}{x^2-5x-6}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{{\left(x-2\right)}^2}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-2}{x-3}=0$

Ví dụ 4. Tính giới hạn $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^4+x^3+x^2+3}{x^4-x^3+x^2-3}$.

Hướng dẫn giải:

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^4+x^3+x^2+3}{x^4-x^3+x^2-3}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\frac{x^4+x^3+x^2+3}{x^4}}{\frac{x^4-x^3+x^2-3}{x^4}}$

$=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}}{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x^4}}=1$.

Ví dụ 5. Tính giới hạn $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{x+5}-\sqrt{x+7}\right)$.

Hướng dẫn giải:

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{x+5}-\sqrt{x+7}\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x+5-\left(x+7\right)}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x+7}}$

$=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{-2}{\sqrt{x+5}+\sqrt{x+7}}=0$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giới hạn $\underset{x\to 3}{\lim }\left(x^2+x+5\right)$ bằng

A. 17;

B. 18;

C. 19;

D. 20.

Bài 2. Giới hạn $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{3x-5}{{\left(x-2\right)}^2}$ bằng

A. 0;

B. −∞;

C. +∞;

D. 1.

Bài 3. Tính giới hạn $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x^4+2x^2+3\right)$, ta thu được kết quả nào sau đây?

A. 0;

B. −∞;

C. +∞;

D. 1.

Bài 4. Giới hạn $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{x^2-6x+8}$ bằng

A. 0;

B. −∞;

C. +∞;

D.$\frac{1}{2}$.

Bài 5. Tính giới hạn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}$, ta thu được kết quả nào sau đây?

A. 0;

B. 1;

C. $\frac{1}{2}$;

D. $\frac{1}{3}$.

Bài 6. Giới hạn $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2-5x+6}{x^2-6x+8}$ bằng

A. 0;

B. −∞;

C. +∞;

D. 1.

Bài 7. Giới hạn $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3x-\sqrt{2x^2+1}}{5x+\sqrt{x^2+3}}$ bằng

A. 0;

B. −∞;

C. +∞;

D. $\frac{3-\sqrt{2}}{6}$.

Bài 8. Tính giới hạn $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{3-x^2}-\sqrt{7-x^2}\right)$, ta thu được kết quả nào sau đây?

A. 0;

B. −∞;

C. +∞;

D. 1.

Bài 9. Giới hạn $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}\right)$ bằng

A. 0;

B. $+\infty$;

C. $-\infty$;

D. $-1$.

Bài 10. Tính giới hạn$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{3x^2-5}-\sqrt{2x^2+1}}{\sqrt{5x^2-7}+2}$, ta thu được kết quả

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$;

B. $\frac{\sqrt{5}}{3}$;

C. $\frac{\sqrt{15}}{5}$;

D. $\frac{\sqrt{15}}{3}$.

Bài 11. Tính $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-3}\right)$.

Bài 12. Tính $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{8+x^2}-2}{x^2}$.

Bài 13. Tính $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{1+x}-\sqrt{x}\right)$.

Bài 14. Tính giá trị của $\lim \frac{\sqrt[n]{n!}}{\sqrt{n^3+2n}}$.

Bài 15. Tìm $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{2025x^2+2022x}-\sqrt{2025x^2+2021}\right)$.

Bài 16. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n-\sqrt{n}\right)$.

Bài 17. Tính giới hạn $\lim \left(\sqrt{x^2+2x}-x\right)$.

Bài 18. Tính giới hạn của dãy số D = $\lim \left(\sqrt{n^2+n+1}-2\sqrt[3]{n^3+n^2-1}+n\right)$.

Bài 19. Tính $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{\frac{x+1}{x}}+1}.$

Bài 20. Tính giới hạn I = $\lim \left(\sqrt{u^2-2u+3}-u\right)$.