Lý thuyết, bài tập Phương pháp quy nạp toán học hay, chi tiết - Toán lớp 11

---

Lý thuyết, bài tập Phương pháp quy nạp toán học hay, chi tiết

Với Lý thuyết, bài tập Phương pháp quy nạp toán học hay, chi tiết Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Phương pháp quy nạp toán học từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Giả sử cần chứng minh đẳng thức P(n) = Q(n) (hoặc P(n) > Q(n)) đúng với n ≥ n₀, n₀ ∈ N* ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính P(n₀),Q(n₀) rồi chứng minh P(n₀ )= Q(n₀)

Bước 2: Giả sử P(k) = Q(k) ; k ≥ n₀, k ∈ N*, ta cần chứng minh P(k+1) = Q(k+1).

Ví dụ minh họa

Bài 1: Chứng mình với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có: 1+2+3+...+n= (n(n+1))/2

Đặt P(n) = 1+2+3+...+n : tổng n số tự nhiên đầu tiên :

Ta cần chứng minh P(n) = Q(n) n ≥ 1 ,n ∈ N*.

Bước 1: Với n = 1 ta có P(1) = 1, Q(1) = 1

⇒ P(1) = Q(1) = 1đúng vớí n = 1.

Bước 2: Giả sử P(k0 = Q(k) với k ≥ 1 ,k ∈ N*. tức là:

Ta cần chứng minh P(k+1) = Q(k+1), tức là:

Thật vậy:

Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi n ≥ 1.

Bài 2:Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có: 1+3+5+⋯+2n-1=n²

♦ Với n = 1 ta có VT =VP = 1

Suy ra đẳng thức đã cho đúng với n = 1.

♦ Giả sử đẳng thức đã cho đúng với n = k với k ≥ 1 ,k ∈ N*. tức là:

1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1 = k² (1)

Ta cần chứng minh đẳng thức đã cho đúng với n = k+1, tức là:

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = (k + 1)² (2)

Thật vậy: VT(2) = 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1)

= k² + (2k + 1) = (k + 1)² = VP(2)

Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi n = 1.

Bài 3: Chứng minh rằng vớí ∀n ≥ 1, ta có bất đẳng thức:

♦ Với n = 1 ta có đẳng thức đã cho trở thành :1/2 < 1/√3 ⇒ 2 > √3 đúng.

⇒ Đẳng thức đã cho đúng với n = 1.

♦ Giả sử đẳng thức đã cho đúng với n = k ≥ 1 , tức là :

Ta phải chứng minh đẳng thức đã cho đúng với n = k+1, tức là :

Thật vậy, ta có :

Ta chứng minh:

⇔ (2k+1)(2k+3) < (2k+2)²

⇒ 3 > 1 (luôn đúng)

Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Chú ý: Vậy Phương pháp quy nạp toán học còn được ứng dụng nhiều trong số học và hình học

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 , ta luôn có

Lời giải:

Bước 1: Với n = 1 ta có: VT = 1 ; VP = 1 ⇒ VT=VP

⇒ Đẳng thức đã cho đúng vớí n = 1.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đã cho đúng với n = k ≥ 1, tức là

Ta sẽ chứng minh đẳng thức đã cho đúng với n = k+1, tức là cần chứng minh

Thật vậy:

⇒ (1) đúng đẳng thức đã cho đúng với mọi n ≥ 1.

Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:

Lời giải:

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1 ta có bất đẳng thức:

|sinnx| ≤ k|sinx| ∀x ∈ I

Lời giải:

Làm tương tự câu 1. Với n=1 đẳng thức đã cho đúng

Gợi ý:

* Với n=1 ta có:VT = |sin1.α|=1.|sinα| =VP nên đẳng thức đã cho đúng.

* Giả sử đẳng thức đã cho đúng với n = k+1, tức là :|sinkα| ≤ k|sinα| (1)

Ta phải chứng minh đẳng thức đã cho đúng với n = k+1,tức là :

|sin⁡(k+1)α| ≤ (k+1)|sinα| (2)

Thật vậy:

|sin⁡(k+1)α|=|sinkα.cosα+coskα.sinα| ≤ |sinkα||cosα|+|coskα||sinα| ≤ |sinkα|+|sinα| ≤ k|sinα|+|sinα| ≤ (k+1)|sinα|

Vậy đẳng thức đã cho đúng với n=k+1, nên đẳng thức đã cho cũng đúng với mọi số nguyên dương n.

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 thì A(n)=7ⁿ+3n-1 luôn chia hết cho 9

Lời giải:

* Với n=1 ⇒ A(1)=7¹+3.1-1=9 ⇒ A(1)chia hết cho 9

* Giả sử A(k)chia hết cho 9 ∀k ≥ 1, ta chứng minh A(k+1)chia hết cho 9

Thật vậy:A(k+1)=7^k+1+3(k+1)1=7.7^k+21k-7-18k+9 ⇒ A(k+1)=7A(k)-9(2k-1)

Vì A(k) chia hết cho 9 và 9(2k-1) chia ết cho 9 nên A(2k+1) chia hết cho 9

Vậy A(n) chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Bài 5: Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi (n ≥ 1) bằng (n-2)180º.

Lời giải:

* Với n = 3 ta có tổng ba góc trong tam giác bằng 180º

* Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với k < n, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác này lần lượt là. (k-1)180ºvà (n-k-1)180º

Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là (k-1+n-k-1)180º=(n-2)180º.

Suy ra mệnh đề đúng với mọi n ≥ 3..