Tìm giới hạn của dãy số hạng chứa lũy thừa lớp 11 (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo biên soan và sưu tầm trọn bộ chuyên đề phương pháp giải bài tập Tìm giới hạn của dãy số hạng chứa lũy thừa lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vận dụng các phép toán giới hạn để tìm giới hạn của dãy số hạng chứa lũy thừa.

Tìm giới hạn của dãy số hạng chứa lũy thừa lớp 11 (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

- Các tính chất của giới hạn:

+$\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^k=+\infty$ với k là số nguyên dương.

+$\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n=+\infty$ với q > 1.

+ $\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n=0$ với 0 < q < 1.

+ Nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=a$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=+\infty$ (hoặc –∞) thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=0$.

+ Nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=a>0$ , $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=0$và v_n > 0 với mọi n thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=+\infty$.

+ Nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=a>0$ thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n{v}_n=+\infty$.

+ Nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=a$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=b$ thì

• $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n+v_n\right)=a+b$;

• $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n-v_n\right)=a-b$;

• $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n.v_n\right)=a.b$;

• $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\frac{u_n}{v_n}\right)=\frac{a}{b}$(nếu b ≠ 0).

+ Nếu u_n ≥ 0 với mọi n và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=a$ thì

a ≥ 0 và $\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt{u_n}=\sqrt{a}$.

- Cách giải bài tập dạng toán tìm giới hạn của dãy số hạng chứa lũy thừa thường là chia quy biểu thức về dạng hàm số của số hạng có lũy thừa lớn nhất, sau đó áp dũng các tính chất để xác định giới hạn.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n^3+n^2+1\right)$.

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 2.$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2+n+1}{2n^2-1}$.

Hướng dẫn giải:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2+n+1}{2n^2-1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(2-\frac{1}{n^2}\right)}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}{2-\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{2}$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }{2}^n$ là

A. 0;

B. +∞;

C. –∞;

D. 1.

Bài 2. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^{5n+1}}{3^{5n+3}}$ là

A. 0;

B. +∞;

C. –∞;

D. 1.

Bài 3. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3^n-{4.2}^{n+3}-3}{{3.2}^{n+1}+4^{n+2}}$ là

A. 0;

B. +∞;

C. –∞;

D. 1.

Bài 4. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{4-5^{n+3}}{3^{n+2}+{2.5}^{n+1}}$ là

A. $-\frac{2}{25}$;

B. $\frac{2}{25}$;

C. $-\frac{25}{2}$;

D. $\frac{25}{2}$.

Bài 5. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3^n-1}{2^n-{2.3}^n+1}$ là

A. 1;

B. –2;

C. –1;

D. $-\frac{1}{2}$.

Bài 6. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^{n+1}+3n+10}{3^{n+2}-3^n+2}$ là

A. 0;

B. +∞;

C. –∞;

D. 1.

Bài 7. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n-1}{n^3+3}$ là

A. 0;

B. +∞;

C. –∞;

D. 1.

Bài 8. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{7n^2-2n^3+1}{3n^3+2n^2+1}$ là

A. $-\frac{2}{3}$;

B. $\frac{2}{3}$;

C. $-\frac{3}{2}$;

D. $\frac{3}{2}$.

Bài 9. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n^3-3}{n^6+5n^5}$ là

A. 0;

B. +∞;

C. –∞;

D. 1.

Bài 10. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n^2+3n+1}{2n-3}$ là

A. 0;

B. +∞;

C. –∞;

D. 1.