Tìm giới hạn của dãy số dạng chứa căn thức lớp 11 (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo biên soan và sưu tầm trọn bộ chuyên đề phương pháp giải bài tập Tìm giới hạn của dãy số dạng chứa căn thức lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vận dụng các phép toán giới hạn để tìm giới hạn của dãy số dạng chứa căn thức.

Tìm giới hạn của dãy số dạng chứa căn thức lớp 11 (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

Để tính giới hạn của dãy số dạng căn thức, ta cần nhân biểu thức chứa căn với một lượng liên hợp để đưa về dạng cơ bản.

A  B  lượng liên hợp là A + B;

$\sqrt{A}-B$ lượng liên hợp là $\sqrt{A}+B$;

 $\sqrt{A}-\sqrt{B}$ lượng liên hợp là $\sqrt{A}+\sqrt{B}$;

$\sqrt[3]{A}-B$ lượng liên hợp là $\sqrt[3]{A^2}+B\sqrt[3]{A}+B^2$;

$\sqrt[3]{A}+B$ lượng liên hợp là $\sqrt[3]{A^2}-B\sqrt[3]{A}+B^2$.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+2n}-n\right)$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+2n}-n\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2+2n-n^2}{\sqrt{n^2+2n}+n}$

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}=\frac{2}{1+1}=1$.

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+2n}-n\right)=1$.

Ví dụ 2. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }n\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-3}\right)$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }n\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-3}\right)$

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n\left(n^2+1-n^2+3\right)}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-3}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{4n}{\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-3}}$

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{4}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{3}{n^2}}}=\frac{4}{1+1}=2.$

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }n\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-3}\right)=2.$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n+5}-\sqrt{n+1}\right)$là

A. 5;

B. 1;

C. 3;

D. 0.

Bài 2. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2-n+1}-n\right)$là

A. $-\frac{1}{2}$;

B. $-\infty$;

C. 1;

D. 0.

Bài 3. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+2n}-\sqrt{n^2-2n}\right)$là

A. 1;

B. 2;

C. 4;

D. $+\infty$.

Bài 4. Có bao nhiêu giá trị của a để $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+a^{2}n}-\sqrt{n^2+(a+2)n+1}\right)=0$?

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Bài 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thỏa mãn $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2-8n}-n+a^2\right)=0$?

A. 0;

B. 2;

C. 1;

D. vô số.

Bài 6. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2-2n+3}-n\right)$là

A. 1;

B. 1;

C. 0;

D. $+\infty$.

Bài 7. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{n^3+1}-\sqrt[3]{n^3+2}\right)$là

A. 3;

B. 2;

C. 0;

D. 1.

Bài 8. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{n^2-n^3}+n\right)$là

A. $\frac{1}{3}$;

B. 1;

C. 0;

D. $+\infty$.

Bài 9. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{9n^2-n}-\sqrt{n+2}}{3n-2}$là

A. 1;

B. 0;

C. 3;

D. $+\infty$.

Bài 10. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{n^2+2}-\sqrt{n^2+4}}$là

A. 2;

B. 0;

C. $-\infty$;

D. $+\infty$.