Tìm giới hạn của dãy số dạng phân thức lớp 11 (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo biên soan và sưu tầm trọn bộ chuyên đề phương pháp giải bài tập Tìm giới hạn của dãy số dạng phân thức lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vận dụng các phép toán giới hạn để tìm giới hạn của dãy số dạng phân thức.

Tìm giới hạn của dãy số dạng phân thức lớp 11 (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

Bài toán: Tính giới hạn $L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{P\left(n\right)}{Q\left(n\right)}$ .

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho lũy thừa cao nhất của n^k, với k là bậc cao nhất ở mẫu rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n+2n^2}{n^3+3n-1}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n+2n^2}{n^3+3n-1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n}}{1+\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n^3}}=\frac{0}{1}=0$.

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n+2n^2}{n^3+3n-1}=0$.

Ví dụ 2. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3n^3-5n^2+1}{2n^3+6n^2+4n+5}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3n^3-5n^2+1}{2n^3+6n^2+4n+5}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3-\frac{5}{n}+\frac{1}{n^3}}{2+\frac{6}{n}+\frac{4}{n^2}+\frac{5}{n^3}}=\frac{3}{2}$.

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3n^3-5n^2+1}{2n^3+6n^2+4n+5}=\frac{3}{2}$.

Ví dụ 3. Tính $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^7+n^2}{n^3+3n-1}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^7+n^2}{n^3+3n-1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^4+\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n^3}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^4=+\infty$.

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^7+n^2}{n^3+3n-1}=+\infty$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n+1}{1-3n}$là

A. $+\infty$;

B. $-\infty$;

C. $\frac{-2}{3}$;

D. 1.

Bài 2. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{4n^2+3n+1}{{\left(3n-1\right)}^2}$là

A. $+\infty$;

B. $-\infty$;

C. 1;

D. $\frac{4}{9}$.

Bài 3. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n+2n^2}{n^3+3n-1}$là

A. 2;

B. 1;

C. 0;

D. $\frac{2}{3}$.

Bài 4. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n\sqrt{n}+1}{n^2+2}$là

A. 2;

B. 0;

C. 1;

D. $\frac{3}{2}$.

Bài 5. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n+2n^2}{n^3+3n-1}$là

A. 2;

B. 1;

C. 0;

D. $\frac{2}{3}$.

Bài 6. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^3-2n}{1-3n^2}$là

A. $-\infty$;

B. $+\infty$;

C. $-\frac{1}{3}$;

D. $\frac{2}{3}$.

Bài 7. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\left(2n-n^3\right)\left(3n^2+1\right)}{\left(2n-1\right)\left(n^4-7\right)}$là

A. $-\frac{3}{2}$;

B. 1;

C. 3;

D. $+\infty$.

Bài 8. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\left(n^2+2n\right)\left(2n^3+1\right)\left(4n+5\right)}{\left(n^4-3n-1\right)\left(3n^2-7\right)}$là

A. 0;

B. 1;

C. ;

D. $+\infty$.

Bài 9. Giá trị của $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt[3]{n}+1}{\sqrt[3]{n}+8}$là

A. $\frac{1}{2}$;

B. 1;

C. $\frac{1}{8}$;

D. $+\infty$.

Bài 10. Cho dãy số (u_n), biết $u_n=\frac{2n+b}{5n+3}$trong đó b là tham số thực. Để dãy số (u_n) có giới hạn hữu hạn thì giá trị của b là

A. b = 3;

B. $b\ne 0$;

C. b = 5;

D. $b\in ℝ$.

Bài 11. Cho dãy số (u_n), biết $u_n=\frac{4n^2+n+2}{a{n}^2+5}$trong đó a là tham số thực. Để dãy số (u_n) có giới hạn bằng 2 thì giá trị của a là

A. a = 1;

B. a = 2;

C. a = 4;

D. a = 0.