Một viên bi được thả lăn từ đỉnh một cái dốc xuống chân dốc. Bi đi xuống nhanh dần và quãng đường mà bi đi được trong giây thứ i là: Si = 4i – 2 (m); i = 1; 2; ..n.

Một viên bi được thả lăn từ đỉnh một cái dốc xuống chân dốc. Bi đi xuống nhanh dần và quãng đường mà bi đi được trong giây thứ i là: S_i = 4i – 2 (m); i = 1; 2; ..n.

1. Tính quãng đường mà bi đi được: trong giây thứ hai; sau hai giây.

2. Chứng minh rằng quãng đường mà tổng cộng mà bi đi được sau n giây (i và n là các số tự nhiên) là L_n = 2n² (m) 

Đáp án đúng: B

1.

Quãng đường vật đi được trong giây thứ hai:

S₂ = (4i – 2)|_{i = 2} = 4.2 – 2 = 6 (m).

Quãng đường vật đi được trong giây đầu tiên:

S₁ = (4i – 2)|_{i = 1} = 4.1 – 2 = 2 (m).

Do đó quãng đường vật đi được sau hai giây:

L₂ = S₁ + S₂ = 2 + 6 = 8 (m).

2.

Quãng đường vật đi được sau n giây là:

L_n = S₁ + S₂ + S₃ + … + S_n

= (4.1 – 2) + (4.2 – 2) + (4.3 – 2) + …(4n – 2)

= 4(1 + 2 + 3 + … + n) – 2n

$=4\frac{n\left(n+1\right)}{2}-2n$

<=> L_n = 2n² (đpcm).

Cách khác: chứng minh bằng quy nạp

- Khi n =1 thì L₁ = 2.1² = 2 (đúng).

- Giả sử L_n = 2n² đúng khi n = k, tức là L_k = 2k².

Ta cần chứng minh L_n = 2n² đúng với n = k + 1 hay L_{k + 1} = 2(k + 1)²

Ta có: L_{k + 1} = (S₁ + … + S₂) + S_{k + 1} = 2k² + [4(k + 1) – z] = 2k² + 4k + 2

Hay L_{k + 1} = 2(k² + 2k + 1) = 2(k +1)

Vậy L_n = 2n² (đpcm).