Cho hai đa thức A = 6x^3 - 4x^2 - 12x - 7 và B = 2x^2 - 7

Cho hai đa thức A = 6x - 4x - 12x - 7 và B = 2x - 7.

Giải vở thực hành Toán 7 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 6 trang 105 vở thực hành Toán lớp 7 Tập 2: Cho hai đa thức A = 6x³ - 4x² - 12x - 7 và B = 2x² - 7.

a) Xác định hệ số cao nhất và hệ số tự do trong mỗi đa thức đã cho.

b) Tính giá trị của đa thức A + B tại x = - 2.

c) Chứng minh rằng x = 0, x = - 1 và x = 2 là ba nghiệm của đa thức A - B.

d) Thực hiện phép nhân A . B bằng hai cách.

e) Tìm đa thức R có bậc nhỏ hơn 2 sao cho hiệu A - R chia hết cho B.

Lời giải:

a) Hệ số cao nhất của A = 6x³ - 4x² - 12x - 7 là 6 và hệ số tự do là - 7.

Hệ số cao nhất của B = 2x² - 7 là 2 và hệ số tự do là - 7.

b) Đặt S(x) = A + B, ta có S(x) = (6x³ - 4x² - 12x - 7) + (2x² - 7) = 6x³ - 2x² - 12x - 14.

Giá trị của A + B khi x = – 2 là:

S(– 2) = 6 . (-2)³ - 2 . (-2)² - 12 . (-2) - 14 = - 48 - 8 + 24 - 14 = - 46.

c) Đặt D(x) = A - B. Khi đó D(x) = (6x³ - 4x² - 12x - 7) - (2x² - 7) = 6x³ - 6x² - 12x.

Ta có: D(0) = 6 . 0³ - 6 . 0² - 12 . 0 = 0; D(- 1) = 6 . (-1)³ - 6 . (-1)² - 12 . (-1) = 0

và D(2) = 6 . 2³ - 6 . 2² - 12 . 2 = 0.

Vậy x = 0, x = -1 và x = 2 là các nghiệm của D(x).

d) Cách 1: Khai triển tích:

A . B = (6x³ - 4x² - 12x - 7) . (2x² - 7)

= 6x³ . 2x² - 4x² . 2x² - 12x . 2x² - 7 . 2x² – 7 . 6x³ + 7 . 4x²  + 7 . 12x  + 7 . 7

= 12x⁵ - 8x⁴ - 24x³ -14x² - 42x³ + 28x² + 84x + 49

= 12x⁵ - 8x⁴ - 66x³ + 14x² + 84x + 49.

Cách 2: Đặt tính nhân:

e) Chia A cho B bằng cách đặt tính chia:

Từ đó suy ra:

6x³ - 4x² - 12x - 7 = (2x² – 7)(3x – 2) + (9x – 21).

Nếu đặt R = 9x – 21 thì đẳng thức trên có nghĩa là A = B . (3x – 2) + R, suy ra

A – R = B . (3x – 2).

Vậy A – R chia hết cho B và đa thức cần tìm là R = 9x – 21.