Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của AB

Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho DM = DC.

Giải vở thực hành Toán 7 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 8 trang 107 vở thực hành Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho DM = DC.

a) Chứng minh rằng ∆ADM = ∆BDC. Từ đó suy ra AM = BC và AM // BC.

b) Gọi E là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia EB lấy điểm N sao cho EN = EB. Chứng minh rằng AN // BC.

c) Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng và A là trung điểm của đoạn MN.

Lời giải:

a) ∆ADM và ∆BDC có

AD = DB (do D là trung điểm của AB)

$\widehat{A\text{D}M}=\widehat{B\text{D}C}$ (hai góc đối đỉnh)

DM = DC (giả thiết)

Nên ∆ADM = ∆BDC (c.g.c).

Suy ra AM = BC (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{MAD}=\widehat{CBD}$ (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AM // BC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

b) ∆AEN và ∆CEB có:

AE = CE (E là trung điểm của AC)

$\widehat{A\text{E}N}=\widehat{CEB}$ (hai góc đối đỉnh)

EN = EB (theo giả thiết)

Nên ∆AEN = ∆CEB (c.g.c).

Suy ra $\widehat{E\text{A}N}=\widehat{ECB}$ (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AN // BC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

c) Ta có AM // BC (chứng minh trên),

   AN // BC (chứng minh trên) nên AM và AN trùng nhau (theo tiên đề Euclid).

Từ đó suy ra ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Ta lại có AM = BC (chứng minh trên), AN = BC (chứng minh trên – do ∆AEN = ∆CEB),

do đó AM = AN.

Từ đó suy ra A là trung điểm của đoạn MN.