Cho tam giác cân ABC tại đỉnh A. Gọi H là trung điểm của BC

Cho tam giác cân ABC tại đỉnh A. Gọi H là trung điểm của BC.

Giải vở thực hành Toán 7 Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 9 trang 108 vở thực hành Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác cân ABC tại đỉnh A. Gọi H là trung điểm của BC.

a) Chứng minh AH ⊥ BC.

b) Trên tia đối của tia BC lấy điểm M; trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN. Chứng minh rằng ∆ABM = ∆ACN.

c) Gọi I là điểm trên AM, K là điểm trên AN sao cho BI ⊥ AM; CK ⊥ AN. Chứng minh rằng tam giác AIK cân tại A, từ đó suy ra IK // MN.

Lời giải:

Cho tam giác cân ABC tại đỉnh A. Gọi H là trung điểm của BC

a) ∆ABC cân tại A (giả thiết)

Mà AH là trung tuyến (H là trung điểm của BC).

Nên AH là đường cao của ∆ABC (tính chất tam giác cân).

Vậy AH ⊥ BC.

b) Ta có $\hat{A B M} + \hat{A B C} = 180 °$ (hai góc kề bù),

$\hat{A C N} + \hat{A C B} = 180 °$ (hai góc kề bù).

Mà $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ nên $\hat{A B M} = \hat{A C N}$ .

∆ABM và ∆ACN có:

AB = AC (∆ABC cân tại đỉnh A).

$\hat{A B M} = \hat{A C N}$ (chứng minh trên).

BM = CN (theo giả thiết).

Nên ∆ABM = ∆ACN (c.g.c).

c) Ta có: ∆ABM = ∆ACN (chứng minh trên) suy ra $\hat{B M I} = \hat{C N K}$ (hai góc tương ứng) và AM = AN (hai cạnh tương ứng).

∆BIM $(\hat{B I M} = 90 °)$ và ∆CKN $(\hat{C K N} = 90 °)$ có:

BM = CN (giả thiết),

$\hat{B M I} = \hat{C N K}$ (chứng minh trên).

Nên ∆BIM = ∆CKN (cạnh huyền - góc nhọn).

Suy ra MI = NK (hai cạnh tương ứng).

Mà AM = AN (chứng minh trên – do ∆ABM = ∆ACN) nên AI = AK, suy ra ∆AIK cân tại A (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Ta có AM = AN (chứng minh trên) nên ∆AMN cân tại A (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Suy ra $\hat{A M N} = \frac{180 ° - \hat{M A N}}{2}$ .

Ta có ∆AIK cân tại A (chứng minh trên) nên $\hat{A I K} = \frac{180 ° - \hat{I A K}}{2}$ .

Từ đó $\hat{A I K} = \hat{A M N}$ $(= \frac{180 ° - \hat{M A N}}{2})$ .

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên IK // MN (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).