Cho tam giác ABC (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn (I) với các tiếp điểm trên BC
Cho tam giác ABC (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn (I) với các tiếp điểm trên BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Gọi X và Y lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C xuống CI và BI. Chứng minh rằng:
Giải vở thực hành Toán 9 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức
Bài 13 trang 129 VTH Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn (I) với các tiếp điểm trên BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Gọi X và Y lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C xuống CI và BI. Chứng minh rằng:
a) DBXF, DCYE là các tứ giác nội tiếp.
b) Bốn điểm X, Y, E, F thẳng hàng.
Lời giải:
a) Xét ∆BXI vuông tại X có đường tròn ngoại tiếp tam giác này có tâm là trung điểm của cạnh huyền BI. Do đó ba điểm B, X, I cùng nằm trên đường tròn đường kính BI.
Xét ∆BFI vuông tại X có đường tròn ngoại tiếp tam giác này có tâm là trung điểm của cạnh huyền BI. Do đó ba điểm B, F, I cùng nằm trên đường tròn đường kính BI.
Xét ∆BDI vuông tại X có đường tròn ngoại tiếp tam giác này có tâm là trung điểm của cạnh huyền BI. Do đó ba điểm B, D, I cùng nằm trên đường tròn đường kính BI.
Do đó 5 điểm D, B, X, F, I cùng nằm trên đường tròn đường kính BI, nên tứ giác DBXF là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh tương tự, ta cũng có 5 điểm D, C, Y, E, I cùng nằm trên đường tròn đường kính CI, nên tứ giác DCYE là tứ giác nội tiếp.
b) * Chứng minh tương tự câu a, ta có bốn điểm B, X, Y, C cùng nằm trên đường tròn đường kính BC nên tứ giác BXYC là tứ giác nội tiếp.
Suy ra (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CY). (1)
Ta có tứ giác BXFI là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BI nên (hai góc nội tiếp cùng chắn cung FI). (2)
Mặt khác, tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) nên BI là đường phân giác của góc ABC, do đó hay (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra hay do đó ba điểm X, F, Y thẳng hàng. (4)
* Chứng minh tương tự như trên, ta cũng có:
Suy ra hay nên ba điểm X, E, Y thẳng hàng. (5)
Từ (4) và (5) suy ra bốn điểm X, Y, E, F thẳng hàng.
Lời giải vở thực hành Toán 9 Bài tập ôn tập cuối năm hay khác:
Bài 1 trang 127 VTH Toán 9 Tập 2: Xét biểu thức với x ≥ 0....
Bài 4 trang 127 VTH Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình sau: a) ...
Bài 6 trang 127 VTH Toán 9 Tập 2: Với mỗi giá trị đã cho của m, hãy giải hệ phương trình sau:..