Bài 1 trang 55 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 2: Hypebol

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 1 trang 55 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 2: Hypebol. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Bài 1 trang 55 Chuyên đề Toán 10: Cho hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1$

a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $(13;\frac{25}{12})$ trên (H).

b) Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng.

c) Tìm điểm N(x; y) ∈ (H) sao cho NF₁ = 2NF₂ với F₁, F₂ là hai tiêu điểm của (H).

Lời giải:

a) Có a² = 144, b² = 25 $\Rightarrow$ a = 12, b = 5, $c=\sqrt{a^2+b^2}=13.$

Tâm sau của (H) là e = $\frac{c}{a}=\frac{13}{12}.$

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M$(13;\frac{25}{12})$ là:

MF₁ = $|a+\frac{c}{a}x|=|12+\frac{13}{12}.13|=\frac{313}{12};$ MF₂ = $|a-\frac{c}{a}x|=|12-\frac{13}{12}.13|=\frac{25}{12}.$

b) Hai tiêu điểm của hypebol là F₁(–13; 0) và F₂(13; 0).

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁ là

${∆}_1:x+\frac{a}{e}=0\iff x+\frac{a^2}{c}=0\iff x+\frac{144}{13}=0.$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂ là

${∆}_1:x-\frac{a}{e}=0\iff x-\frac{a^2}{c}=0\iff x-\frac{144}{13}=0.$

c) NF₁ = $|a+\frac{c}{a}x|;$ NF₂ = $|a-\frac{c}{a}x|.$

NF₁ = 2NF₂ $\iff |a+\frac{c}{a}x|=2|a-\frac{c}{a}x|\iff [\begin{array}{c}a+\frac{c}{a}x=2(a-\frac{c}{a}x)\\ a+\frac{c}{a}x=2(\frac{c}{a}x-a)\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}a=3\frac{c}{a}x\hspace{0.25em}\\ 3a=\frac{c}{a}x\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=\frac{a^2}{3c}=\frac{144}{3.13}=\frac{48}{13}\\ x=\frac{3a^2}{c}=\frac{3.144}{13}=\frac{432}{13}\end{array}.$

+) x = $\frac{48}{13}$ loại vì 0 < x < a.

+) x = $\frac{432}{13}$ thì $\frac{{\left(\frac{432}{13}\right)}^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1\Rightarrow y^2=\frac{32400}{169}\Rightarrow [\begin{array}{c}y=\frac{180}{13}y=-\frac{180}{13}\end{array}.$

Vậy có hai điểm N thoả mãn đề bài là N₁$(\frac{432}{13};\frac{180}{13})$ và N₂$(\frac{432}{13};-\frac{180}{13}).$