Bài 10 trang 30 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 10 trang 30 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Bài 10 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/năm. Hết năm đầu tiên, cô Hạnh không rút tiền ra và gửi thêm A (đồng) nữa. Hết năm thứ hai, cô Hạnh cũng không rút tiền ra và lại gửi thêm A (đồng) nữa. Cứ tiếp tục như vậy cho những năm sau. Chứng minh số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau n (năm) là $T_n=\frac{A(100+r)}{r}\left[{\left(1+\frac{r}{100}\right)}^n-1\right]$ (đồng), nếu trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi.

Lời giải:

Xét mệnh đề P(x): "Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau n (năm) là (đồng) (n ∈ ℕ^*)".

+) Khi n = 1:

Số tiền lãi người đó nhận được là: A . r% = $\frac{A.r}{100}$ (đồng).

Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) là:

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau (k +1) (năm) là

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau k (năm) là:

Vì cô Hạnh không rút tiền ra và lại gửi thêm A (đồng) nữa nên:

– Số tiền vốn của cô Hạnh sau (k + 1) năm là: T_k + A (đồng).

– Số tiền lãi cô Hạnh nhận được sau (k + 1) (năm) là:

(T_k + A) . r% (đồng).

– Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau (k + 1) (năm) là:

(T_k + A) + (T_k + A) . r%

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ^*. Từ đó ta có điều phải chứng minh.