Bài 4 trang 29 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 4 trang 29 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Bài 4 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: 1 + q + q² +... + q^{n – 1} = $\frac{1-q^n}{1-q},$ với n ∈ ℕ^*.

Lời giải:

+) Khi n = 1, ta có: 1 = $\frac{1-q}{1-q}=\frac{1-q^1}{1-q}.$

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 1 + q + q² +... + q^{k – 1} + q^{(k + 1) – 1} = $\frac{1-q^{k+1}}{1-q}.$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 1 + q + q² +... + q^{k – 1} = $\frac{1-q^k}{1-q}.$

Khi đó:

1 + q + q² +... + q^{k – 1} + q^{(k + 1) – 1}

= (1 + q + q² +... + q^{k – 1}) + q^{(k + 1) – 1}

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ^*.