Bài 3 trang 29 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 3 trang 29 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Bài 3 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho $S_n=\frac{1}{1.5}+\frac{1}{5.9}+\frac{1}{9.13}+\dots +\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}$, với n ∈ ℕ^*.

a) Tính S₁, S₂, S₃, S₄.

b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải:

b) Ta dự đoán $S_n=\frac{n}{4n+1}.$

+) Khi n = 1, ta có: $S_1=\frac{1}{5}=\frac{1}{4.1+1}.$

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: $S_{k+1}=\frac{k+1}{4\left(k+1\right)+1}.$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: $S_k=\frac{k}{4k+1}.$

Khi đó:

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ^*. Vậy $S_n=\frac{n}{4n+1}$ với n ∈ ℕ^*.