Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD khi và chỉ khi

Câu hỏi ôn tập chương 3

Bài 3.45 trang 162 Sách bài tập Hình học 11: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD khi và chỉ khi

Lời giải:

Giả sử AB ⊥ CD ta phải chứng minh:

Thật vậy, kẻ BE ⊥ CD tại E, do AB⊥CD ta suy ra CD ⊥ (ABE) nên CD ⊥ AE. Áp dụng định lí Py-ta-go cho các tam giác vuông AEC, BEC, AED và BED ta có:

AC² = AE² + CE²

BD² = BE² + ED²

BC² = AE² + EC²

AD² = AE² + ED²

Từ đó ta suy ra AC² + BD² = AD² + BC²

Ngược lại nếu tứ diện ABCD có AC² + BD² = AD² + BC² thì: AC² − AD² = BC² − BD².

Nếu AC² − AD² = BC² − BD² = k² thì trong mặt phẳng (ACD) điểm A thuộc đường thẳng vuông góc với CD tại điểm H trên tia ID với I là trung điểm của CD sao cho

Tương tự điểm B thuộc đường thẳng vuông góc với CD cũng tại điểm H nói trên. Từ đó suy ra CD vuông góc với mặt phẳng (ABH) hay CD ⊥ AB.

Nếu AC² − AD² = BC² − BD² = −k² thì ta có và đưa về trường hợp xét như trên AD² − AC² = BD² − BC² = −k².

Chú ý. Từ kết quả của bài toán trên ta suy ra:

Tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau khi và chỉ khi AB² + CD² = AC² + BC².