Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = cos^6(x) - sin^6(x) tương ứng là

Ôn tập chương 1

Bài 1.53: Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = cos⁶x - sin⁶x tương ứng là

A. 0 và 2            B. -1 và 1/2

C. -1 và 1            D. 0 và √2/2

Lời giải:

Cách 1. Ta có y = cos⁶ x - sin⁶ x ≤ cos⁶ x ≤ 1.

Dấu “=” đạt được khi x = 0. Vậy giá trị lớn nhất là 1.

Mặt khác, y ≥ -sin⁶x ≥ -1.

Hàm số y đạt giá trị -1 khi x = π/2. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1.

Cách 2. Khi x = 0 thì y = 1 lớn hơn 1/2 và √2/2 nên các phương án B và D bị loại.

Khi x = π/2 thì y = -1, do đó phương án A bị loại.

Chọn đáp án: C

Bài 1.54: Tập giá trị của hàm số y = sin²x + √3sinx + 2 là

Lời giải:

Cách 1. Đặt u = sinx, -1 ≤ u < 1, ta được hàm bậc hai y = u² + √3u + 2.

Trên đoạn [-1;1] hàm này có điểm cực tiểu tại u = (-√3)/2, y = 5/4 và đạt cực đại tại u = 1 và y = 3 + √3

Cách 2. Với sinx = -1 thì y = 3 - √3 < 4/3 nên các phương án A và C bị loại.

Với sinx = 1 thì y = 3 + √3 > 4 nên phương án D bị loại.

Chọn đáp án: B

Bài 1.55: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sin2x.sin4x + cos6x = 0 là

A. -π/12            B. -π/4

C. -π/8            D. -π/6

Lời giải:

Xét các giá trị từ lớn tới nhỏ trong các phương án.

Với giá trị lớn nhất là x = (-π)/12 thì cos6x = 0 còn sin2x ≠ 0, sin4x ≠ 0 nên (-π)/12 không phải là nghiệm. Vậy phương án A bị loại.

Với giá trị x = (-π)/8 thì sin2x = sin((-π)/4) = (-√2)/2, sin4x = sin((-π)/2) = -1,

cos6x = cos((-3π)/4) = (-√2)/2 nên x = (-π)/8 là nghiệm của phương trình.

Chọn đáp án: C

Bài 1.56: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình √3.tanx + √3.cotx - 4 = 0 là

A. π/6            B. π/3

C. π/4            D. π/5

Lời giải:

Xét các giá trị từ nhỏ tới lớn trong các phương án. Nhỏ nhất là giá trị π/6. Khi đó, tanπ/6 = 1/√3, cotπ/6 = √3, thao vào phương trình thấy thỏa mãn.

Vậy π/6 là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình.

Chọn đáp án: A

Bài 1.57: Nghiệm của phương trình 3(cosx - sinx) - sinx.cosx = -3 là

Lời giải:

Xét các phương án

Phương án A có hai khả năng, nên ta xét các phương án khác đơn giản hơn.

• Với x = kπ trong phương án B, khi k = 2 thì vế trái của phương trình đã cho bằng 3, nên phương án B bị loại.

• Với x = π/4 thì cosx – sinx = 0, sinx.cosx = 1/2 nên π/4 không phải là nghiệm. Do đó phương án C bị loại.

• Với x = π/6 thì vế trái của phương trình đã cho là

nên phương án D bị loại.

Chọn đáp án: A

Bài 1.58: Cho phương trình 8sin⁶x = sin²2x.

Xét các giá trị

Trong các giá trị trên, giá trị nào là nghiệm của phương trình đã cho?

A. Chỉ (I)            B. Chỉ (II)

C. Chỉ (III)            D. Chỉ (I) và (II)

Lời giải:

Phương trình đã cho tương ứng với

8sin⁶ x = 4sin²x. cos² x ⇔ 4sin²x (2sin⁴x - cos²x) = 0

⇔ 4sin²x (2sin⁴x + sin²x - 1) = 0

Chọn đáp án: D