Tam giác ABC có 1 cạnh song song hoặc nằm trong mp(P)

Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 28 (trang 112 sgk Hình học 11 nâng cao): Cho tam giac ABC và mp(P) . Biết góc giữa mp(P) và mp(ABC) là φ (φ ≠ 90°); hình chiếu của tam giác ABC trên mp(P) là tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng S_A'B'C'= S_ABC.cosφ

Hướng dẫn : Xét hai trường hợp.

a) Tam giác ABC có 1 cạnh song song hoặc nằm trong mp(P).

b) Tam giác ABC không có cạnh nào song song hay nằm trong mp(P).

Lời giải:

a) Xét trường hợp tam giác ABC có 1 cạnh, chẳng hạn BC nằm trong mp(P) . Gọi A’ là hình chiếu của A trên mp(P) , kẻ đường cao A’H của tam giác A’BC (H Є BC) thì :

Trường hợp cạnh BC của tam giác ABC song song với mp(P). Xét mp(Q) chứa BC và song song với mp(P). Gọi giao điểm của AA’ với mp(Q) là A₁. Khi đó ta có ΔA₁BC = ΔA’B’C’; góc giữa mp(ABC) và mp(Q) bằng φ do đó S_A'B'C'=S_A1BC =S_ABC.cosφ

b) Xét trường hợp tam giác ABC không có cạnh nào song song hay nằm trong mp(P) . Ta có thể giả sử (P) đi qua điểm A sao cho các đỉnh B, C ở về cùng 1 phía đối với mp(P) . Gọi D là giao điểm CỦA đường thẳng BC và mp(P) ;B’ , C’ lần lượt là hình chiếu của B, C trên (P) thì B’C’ đi qua D. Khi đó trường hợp a) ta có :

s_ADC'=S_ADC.cosφ

S_ADB'=s_ADB.cosφ

Trừ từng về hai đẳng thức trên ta có:

S_A'B'C' = s_ABC.cosφ

Vậy mọi trường hợp ta đều có : S_A'B'C'=S_ABC.cosφ