Chứng tỏ rằng nếu phép đồng dạng F biến tam giac ABC

Bài 7: Phép đồng dạng

Bài 31 (trang 31 sgk Hình học 11 nâng cao): Chứng tỏ rằng nếu phép đồng dạng F biến tam giac ABC thành tam giác A’B’C thì trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt thành trọng tâm , trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C.

Lời giải:

Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng BC thì phép đồng dạng F biến điểm D thành trung điểm D’ của đoạn thẳng B’C’ và vì thế trung tuyến AD của tam giác ABC biến thành trung tuyến A’D’ của tam giác A’B’C’ . Đối với hai trung tuyến còn lại cũng vậy. Vì trọng tâm tam giác là giao điểm của các đường trung tuyến nên trọng tâm tâm giác ABC biến thành trọng tâm tam giác A’B’C’.

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC (H Є BC). Khi đó phép đồng dạng F biến đường thẳng AH thành đường A’H. Vì AH ⊥ BC nên A’H’ ⊥ B’C’ , nói cách khác A’H’ là đường cao của tam giác A’B’C’. Đối với các đường cao khác cũng thế. Vì trực tâm tam giác là giao điểm của các đường ca nên trực tâm tam giác ABC biến thành trực tâm tam giác A’B’C’.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC thì OA = OB = OC nên nếu điểm O biến thành điểm O’ thì O’A’ = O’B’ = O’C’ = kOA = kOB = kOC, do đó O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’