Cho số thực x: trang 100 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 7 (trang 100 sgk Đại Số và Giải Tích 11 nâng cao): Cho số thực x > -1. Chứng minh rằng (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx(1) với mọi n nguyên dương.

Lời giải:

Với n=1 ta có (1 + x)¹ = 1 + x = 1 + 1.x. Vậy (1) đúng vơi n = 1.

Giả sử (1) đúng vơi n=k, ta chứng minh nó đúng với n = k + 1.

Thật vậy, từ giải thiết quy nạp và x > -1 ta có:

(1 + x)^{k + 1} = (1 + x).(1 + x)^k ≥ (1 + x)(1 + kx) = 1 + (k + 1)x + kx² ≥ 1 + (k + 1)x

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.